Доклад на пленарном заседании
Международной конференции
«Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения
в Природе, Науке и Искусстве»
Винница, 22-25 октября 2003 г.
Аннотация
В брошюре в сжатой форме изложены результаты 30-летних исследований автора по созданию новой математики, «Математики Гармонии», которая может быть эффективно использована для моделирования процессов «фибоначчиевого» мира, который нас окружает (прежде всего, явлений живой природы и произведений искусства). Особенность брошюры состоит в том, что в ней впервые делается попытка дать интерпретацию основных соотношений «Математики Гармонии» с точки зрения «Сакральной Геометрии» и показать, что эти новые математические результаты могут быть использованы для развития «Сакральной Геометрии».
Оглавление
Введение
Возвращение к Богу, к «эзотерическим наукам» и «сакральным знаниям», содержащимся в Талмуде, Библии и других древних текстах, сближение религиозного и научного мировоззрений является едва ли не наиболее характерной особенностью современного этапа в развитии человеческой культуры.
В 1996 г. в лекции «The Golden Section and Modern Harmony Mathematics”, прочитанной автором на 7-й Международной конференции по числам Фибоначчи и их приложениям [1], была выдвинута концепция новой математики, «Математики Гармонии», дополняющей и развивающей классическую математику и предназначенной для моделирования явлений так называемого «Фибоначчиевого мира», который нас окружает (ботаническое явление филлотаксиса, деление биологических клеток, квазикристаллы, все виды искусства, морфология человека и т.д.). В 1998 г. эта лекция была повторена автором на заседании Украинского математического общества.
В настоящей статье дается интерпретация некоторых математических результатов «Математики Гармонии» с точки зрения «Сакральной геометрии» [2].
Основные математические отношения сакральной геометрии
Как подчеркивается в [2], существуют основные математические отношения сакральной геометрии, «которые можно найти во всем мире от японских пагод до майянских храмов в Юкатане, от Стоунхенджа до Великой Пирамиды. Знание этих отношений закладывает базис постижения сакральной геометрии. В мистическом смысле они понимаются как отношение математического числа к единице». Согласно [2] к разряду таких отношений относятся:
(1) Число p = 3,141 … . Это число выражает отношение длины окружности к ее диаметру. В сакральной геометрии круг представляет духовные царства и является прекрасной формой для проведения духовных действий. На земле имеется огромное количество сакральных мест в форме круга. Число p лежит в основе тригонометрии и тригонометрических функций и считается важнейшей математической константой, без которой немыслимо существование математики.
(2) Квадратный корень числа 2: 
= 2,414 … . Это число выражает диагональ квадрата с отношением сторон 1:1. Тот факт, что корень числа 2 является иррациональным числом, выражает идею, что наши способности не всегда могут быть представлены обычным способом. Квадрат широко используется в священных храмах. Он обнаружен в одном из самых священных мест – в Храме Соломона, в котором хранился Ковчег Завета и другие самые ценные для иудеев вещи. С числом 
связано открытие несоизмеримых отрезков, которое вызвало первый кризис в основаниях математики и привело к разработке теории иррациональных чисел и в конечном итоге – к созданию современной «непрерывной» математики.
(3) Квадратный корень числа 3: 
. Это число связано с важнейшей фигурой сакральной геометрии Vesica Piscis («рыбий пузырь»), которая образуется пересечением двух кругов, при этом окружность каждого проходит через центр другого. Если теперь из центров кругов провести прямые к точкам пересечения кругов, то возникают равносторонние треугольники. Равносторонний треугольник представляет собой фундамент, на котором возведено все здание сакральной геометрии. В сакральной геометрии считается, что Вселенная – Дух, Душа и Тело Бога могут быть представлены равносторонним треугольником. Равносторонний треугольник обладает наилучшими излучающими свойствами. Поэтому К.Э. Циолковский выдвигал идею вырубки в сибирской тайге гигантского равностороннего треугольника для установления контактов с внеземными цивилизациями. По мнению ученого, излучение такого треугольника не могло бы не привлечь внимания внеземных цивилизаций.
(4)
Квадратный корень числа 5: Число 5 пифагорейцы почитали в качестве священного; оно служило символом их союза. Если взять два единичных квадрата и соединить по общему основанию, то мы получаем прямоугольник с отношением сторон 2:1; этот прямоугольник называется в сакральной геометрии «двойным квадратом». Если теперь вычислить значение диагонали «двойного квадрата», то согласно «Теореме Пифагора» мы получим число
.
(5)
Золотое Сечение, которое выражается числом Ф или
= 1.618. Пропорция «Золотого Сечения» встречается в огромном количестве геометрических фигур, которые всегда относились к разряду «сакральных»: в «золотом» прямоугольнике с отношением сторон
t:1; в правильном пятиугольнике («пентагоне» или «пентаграмме»), в «золотом» равнобедренном треугольнике с углом при вершине в 36
° и углах при основании в 72
°, в правильном десятиугольнике («декагоне») и т.д. Можно привести два замечательных математических выражения для «золотого сечения» - его представление в виде цепной дроби
(1)
и представление в «радикалах
(2)
Бесконечное повторение одних и тех же математических элементов в выражениях (1), (2) вызывает чувство ритма и гармонии.
Золотое сечение широко встречается в живой природе. Раковины современных моллюсков имеют форму «золотой» логарифмической спирали. Панцири многих животных, являются яркой иллюстрацией грандиозного Божественного замысла, имеющего в основе «золотое сечение».
С числом t связаны числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, открытые в 13-м веке знаменитым итальянским математиком Фибоначчи при решении «задачи о размножении кроликов». Доказано, что отношение соседних чисел Фибоначчи в пределе стремится к «золотому сечению». Числа Фибоначчи широко представлены в растительном мире, в частности в ботаническом явлении «филлотаксиса». Но самое важное заключается в том, что коэффициент t присутствует в высшем творении Бога – человеке. Божественная пропорция человеческого тела отображена в древнегреческих скульптурах и известных рисунках Леонардо да Винчи и Дюрера.
В эпоху итальянского Возрождения золотая пропорция t = 1,618 возводится в ранг основного эстетического принципа. В 1509 г. вышло сочинение Луки Пачиоли «Divina Prоpoprtione”, в котором свойства золотой пропорции сравниваются со свойствами Самого Бога, а сама пропорция называется «божественной». Отношение золотой пропорции вызывает положительные эмоции, подъем эстетических чувств. Платон рассматривал это число как наиболее обязательное из всех математических отношений и называл его ключом к пониманию физики космоса. Свое восхищение «золотым сечением» Иоганн Кеплер выразил в следующих словах:
«В геометрии существует два сокровища: теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении: первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».
Сакральная геометрия широко использует также 5 правильных выпуклых многогранников (тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр и икосаэдр), называемых «Платоновыми Телами». Эти тела были положены Платоном в основу его космологии. В диалоге «Тимей» он дает подробное объяснение мироздания на основе этих 5 тел. «Нет видимых тел более прекрасных, чем эти, притом каждое из них прекрасно в своем роде». Согласно Платону, атомы «четырех элементов», из которых построен мир, - огня, воздуха, воды и земли – имеют форму правильных выпуклых многогранников: тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и куба, а весь мир в целом построен в форме додекаэдра. Иоганн Кеплер использовал «Платоновы тела» для построения оригинальной геометрической модели Солнечной системы. Эта модель и стала для Кеплера исходным пунктом грандиозного по своему замыслу исследования в области «Гармонии Мироздания» (так называется одна из книг Кеплера), которое привело его к новой астрономии.
Из других математических достижений в сакральной геометрии широко используется также так называемый «Треугольник Паскаля». В сакральной геометрии треугольник Паскаля символизирует процесс деления клетки. Сумма элементов каждой строки такого треугольника получается путем удвоения предыдущей суммы. Именно такой характер удвоения чисел отвечает простому делению биологических клеток и других биологических организмов в процессе размножения. Каждая клетка в результате своего деления превращается в 2 клетки, которые, в свою очередь, делятся на 2 и т.д.
Основные понятия «Математики Гармонии»
Обобщенные золотые сечения
Пришедшая к нам из «Начал Евклида» задача о «делении отрезка в крайнем и среднем отношении», получившая позже название задачи о «золотом сечении», допускает следующее обобщение [3, 4]. Зададимся целым неотрицательным числом р (р=0, 1, 2, 3, …) и разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении (Рис. 1), чтобы
. (3)
Рисунок 1. Золотые p-сечения (p = 0, 1, 2, 3, ...).
Обозначим отношение АВ:СВ = x; тогда СВ:АС = xp. С другой стороны, АВ = АС + СВ, откуда вытекает следующее уравнение для нахождения искомого отношения:
xp+1 = xp + 1. (4)
Обозначим через 
p положительный корень алгебраического уравнения (4). Уравнение (4) задает бесконечное число пропорциональных делений отрезка АВ в отношении (3), так как каждому р соответствует свой вариант деления. Рассмотрим частные случаи отношения (3). При р=0 p = 2, а деление отрезка в отношении (3) сводится к классической дихотомии (Рис. 1-а). При р=1 p = t = («золотая пропорция»), а деление отрезка в отношении (3) совпадает с классическим «золотым сечением» (Рис. 1-b). На этом основании деление отрезка в отношении (3) было названо
обобщенным золотым сечением или
золотым р-сечением, а
числа
p, являющиеся положительными корнями уравнения (4), были названы
обобщенными золотыми пропорциями или
золотыми р-пропорциями [3, 4].
Из уравнения (4) непосредственно вытекает следующее тождество, связывающее степени золотых р-пропорций: 
. (5)
Заметим, что частными случаями (5) являются следующие математические тождества для «двоичных чисел» (
р=0) и степеней классической золотой пропорции
(
р=1):
2n = 2n-1 + 2n-1 = 2'2n-1;
Ниже приведена таблица, задающая значения «золотых
р-пропорций»
p и обратных к ним величин , которые также выражают пропорции золотых
р-сечений.
р | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 
|
p | 2 | 1,618 | 1,465 | 1,380 | 1,324 | 1,285 | ... | 1 |
bр | 0,5 | 0,6180 | 0, 6823 | 0,7245 | 0,7549 | 0,7781 | ... | 1 |
Как следует из таблицы, между «священными» числами 2 и 1 на числовой оси имеется бесконечное число иррациональных чисел tp , выражающих пропорции «золотых р-сечений», задаваемых (3).
Какое значение для «сакральной геометрии» могут иметь обобщенные золотые пропорции, задаваемые (3)? Рассмотрим прямоугольник с отношением сторон tр :1. Такой прямоугольник будем называть обобщенным золотым прямоугольником или золотым р-прямоугольником. Ясно, что для случая р=0 t0 = 2 и золотой 0-прямоугольник (р=0) сводится к такой сакральной геометрической фигуре как «двойной квадрат» (2:1), диагональ которого равна числу 
. Пусть теперь р=1; для этого случая t1 = 
(«золотая пропорция») и тогда золотой 1-прямоугольник (р=1) сводится к классическому «золотому прямоугольнику», широко используемому в «сакральной геометрии» и произведениях искусства. Наконец, когда р->, золотая р-пропорция tр -> 1, а это означает, что золотой р-прямоугольник вырождается в квадрат (1:1), выражающий число 
= 2,414 … . Таким образом, уже первые шаги в интерпретации «Математики Гармонии» с точки зрения «сакральной геометрии» приводят нас к заключению, что основное математическое соотношение «Математики Гармонии» - обобщенная золотая пропорция - «порождает» бесконечное количество прямоугольников с соотношением сторон tр :1, которые включают в качестве частных случаев, по крайней мере, три важнейшие фигуры сакральной геометрии: квадрат, «двойной квадрат» и «золотой прямоугольник».
Но ведь это только первый, поверхностный взгляд на проблему. Более глубокий подход к пропорции (3) состоит в трактовке золотых р-пропорций и порождаемых ими «обобщенных золотых прямоугольников» как математической основы новой «сакральной геометрии», выражающей некоторые глубокие закономерности окружающего нас мира. И именно этот подход был развит белорусским философом Э.М. Сороко, который недавно сформулировал свой знаменитый «Закон структурной гармонии систем», суть которого сводится к следующему [5]:
«Обобщенные золотые сечения суть инварианты, на основе и посредством которых в процессе самоорганизации естественные системы обретают гармоничное строение, стационарный режим существования, структурно-функциональную …устойчивость».
В чем же принципиальная особенность «Закона Сороко» с точки зрения «сакральной геометрии? Начиная с Пифагора, ученые связывали понятие гармонии с классической золотой пропорцией 
, которая всегда считалась единственной, уникальной и неповторимой. «Закон Сороко» утверждает, что для одной и той же системы может существовать бесконечное количество «гармоничных» состояний, соответствующих обобщенным золотым пропорциям числам tp . Ясно, что «Закон Сороко» может стать стимулом для нового витка в развитии «сакральной геометрии».
Обобщенные числа Фибоначчи
А теперь найдем связь обобщенных золотых пропорций с треугольником Паскаля, играющим важную роль в священной геометрии. Для этого представим упомянутый выше треугольник Паскаля в виде следующей числовой таблицы:
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| | | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 |
| | | | 1 | 4 | 10 | 20 | 35 | 56 | 84 |
| | | | | 1 | 5 | 15 | 35 | 70 | 126 |
| | | | | | 1 | 6 | 21 | 56 | 126 |
| | | | | | | 1 | 7 | 28 | 84 |
| | | | | | | | 1 | 8 | 36 |
| | | | | | | | | 1 | 9 |
| | | | | | | | | | 1 |
1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 |
Заметим, что биномиальный коэффициент
находится на пересечении
n-го столбца (
n =0, 1, 2, 3, …) и
k-й строки (
k =0, 1, 2, 3, …) треугольника Паскаля. Если теперь последовательно просуммировать биномиальные коэффициенты по столбцам, то возникающая при этом числовая последовательность есть ни что иное, как «двоичный ряд»: 1, 2, 4, 8, 16, …, 2
n, … . В комбинаторике этот результат выражается с помощью широко известного тождества, связывающего биномиальные коэффициенты с двоичными числами:
.
Сдвинем теперь каждую строку треугольника Паскаля на один столбец вправо относительно предыдущей строки и рассмотрим следующий “деформированный” треугольник Паскаля:
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| | | | | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 |
| | | | | | | 1 | 4 | 10 | 20 | 35 | 56 |
| | | | | | | | | 1 | 5 | 15 | 35 |
| | | | | | | | | | | 1 | 6 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
Если теперь просуммировать биномиальные коэффициенты “деформированного” треугольника Паскаля по столбцам, то получим ряд Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … , причем сумма биномиальных коэффициентов n-го столбца “деформированного” треугольника Паскаля будет равна (n+1)-му числу Фибоначчи Fn+1 (Fn+1=Fn + Fn-1 ; F1= F2 = 1). Если теперь сдвинуть каждую строку исходного треугольника Паскаля на p столбцов вправо относительно предыдущей строки (p = 0, 1, 2, 3, ... ), то получим таблицу биномиальных коэффициентов (новый “деформированный” треугольник Паскаля), которая в результате сложения по столбцам дает обобщенные числа Фибоначчи или р-числа Фибоначчи [3, 4], выражаемые с помощью следующей рекуррентной формулы:
Fp(n) = Fp(n-1)+Fp(n-p-1) для n>p+1; (6)
Fp(1) = Fp(2) = ... = Fp(p+1) = 1. (7)
Заметим, что рекуррентное соотношение (6) при начальных условиях (7) задает бесконечное количество новых числовых последовательностей. При этом их частными случаями являются «двоичный ряд» 1, 2, 4, 8, 16, …, соответствующий случаю р=0, и ряд Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, соответствующий случаю р=1!
Как упоминалось, в сакральной геометрии широко используется тот факт, что отношение соседних чисел Фибоначчи Fn / Fn-1 стремится в пределе к “золотой пропорции». Доказано [3,4], что при заданном р (р=0, 1, 2, 3, …) отношение соседних р-чисел Фибоначчи Fp(n)/Fp(n-1) при n-> стремится к обобщенной золотой пропорции tp! Это означает, что введенные выше золотые р-пропорции, задаваемые (3), выражают некоторые глубокие математические закономерности треугольника Паскаля! Этот математический результат («золотые р-сечения») может дать новый стимул для развития сакральной геометрии.
Как упоминалось, треугольник Паскаля символизирует в сакральной геометрии процесс деления биологических клеток в процессе их размножения. И в этом пункте это положение сакральной геометрии также может быть скорректировано, основываясь на современных научных данных. В работе [6] показано, что на самом деле процесс деления клеток подчиняется более общему, «фибоначчиевому» закону, который математически выражается рекуррентным соотношением (6), (7), задающим р-числа Фибоначчи.
Алгоритмическая теория измерения Имя итальянского математика Леонардо Пизано (по прозвищу Фибоначчи) хорошо известно в священной геометрии, которая широко использует числа Фибоначчи, введенные их автором еще в 13-м веке в книге “Liber abaci” (1202 г.). Но оказывается, что своим сочинением Фибоначчи не только дал начало современной теории чисел Фибоначчи, но и внес существенный вклад в развитие математической теории измерения, сформулировав в своей книге так называемую «задачу о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах» или проще «задачу о гирях». История задачи такова. Из сочинений Фибоначчи она перекочевала в сочинения еще одного знаменитого итальянского математика Луки Пачиоли, «друга и советника Леонардо да Винчи». Пачиоли поместил ее в своей книге “Summa de Arithmetica, Geomeytria, Proprtioni et Proportionalita” (1494 г.), которая по праву считается математической энциклопедией эпохи Возрождения.
В русской историко-математической литературе «задача о гирях» известна также под названием «задачи Баше-Менделеева», названой так в честь французского математика Баше де Мизириака, поместившего ее в своем «Сборнике приятных и занимательных задач» (1612 г.), и выдающегося русского ученого Дмитрия Ивановича Менделеева, интересовавшегося этой задачей в бытность директором Главной палаты мер и весов России.
Таким образом, заслуга Фибоначчи состоит в том, что он сформулировал первую в истории математики «оптимизационную задачу» в теории измерения. Известны два варианта решения «задачи о гирях». В первом взвешиваемый груз находится на левой чаше весов, а гири разрешается класть только на правую («свободную») чашу весов; во втором варианте гири разрешается класть на обе чаши весов. Решением первого варианта этой задачи является двоичная система гирь {1, 2, 4, …, 2n-1}, с которыми последовательно (начиная со старшей гири) происходит сравнение измеряемого веса Q. Указанный способ измерения получил широкое распространение в измерительной практике и носит название алгоритма поразрядного кодирования или «двоичного» алгоритма измерения. Важно подчеркнуть, что применение этого алгоритма автоматически приводит к представлению результата измерения N в двоичной системе счисления:
,
где ai{0, 1}- двоичная цифра i-го разряда двоичного кода числа N. В «задаче о гирях» она имеет следующую физическую интерпретацию: ai = 1, если в результате сравнения измеряемого груза Q с гирей 2i-1 рычажные весы остались в исходном положении “больше»; ai = 0, если чаши весов перешли в противоположное положение „меньше”.
Во втором варианте задачи Баше-Менделеева гири разрешается класть на обе чаши весов. Оказалось, что для этого случая “оптимальным» решением является «троичная» система гирь {1, 3, 9, 27, …, 3n-1}, которая «порождает» троичную симметричную систему счисления:
,
где bi{-1, 0, 1}- троичная цифра i-го разряда троичного представления числа N.
Принцип асимметрии измерения
При внимательном анализе алгоритма измерения «двоичными» гирями {1, 2, 4, 8, …, 2n-1}, обнаруживается одна его особенность, которая имеет общий характер для любых мыслимых измерений, основанных на сравнении измеряемой величины с «эталонными гирями», и наглядно может быть продемонстрирована на модели взвешивания на рычажных весах неизвестного веса Q<2n с помощью системы двоичных гирь: {1,2,4, …, 2n-1} (см. Рис. 2).
Рисунок 2. Принцип асимметрии измерения
На первом шаге взвешивания на правую чашу весов кладется «старшая» гиря 2n-1 (см. позицию а на Рис. 2), что обозначено символом “+” («добавить»). При этом могут возникнуть две ситуации, изображенные на рисунке (2n-1 < Q) и (2n>=Q). В первом случае (позиция а) следующий шаг состоит в том, чтобы добавить (+) на правую чашу весов очередную по старшинству гирю 2n-2. Во втором случае (позиция b) «весовщик» должен выполнить две операции: снять (-) предыдущую гирю, после чего весы возвращаются в исходное положение (позиция с); после возвращения рычажных весов в исходное положение он должен добавить (+) на правую чашу весов следующую по старшинству гирю.
Следовательно, логика любого сравнения с помощью рычажных весов «несимметрична», так как предполагает различную степень сложности действий «весовщика» в зависимости от положений, в которых оказываются рычажные весы (устройство сравнения) после очередного шага сравнения; при этом действия "весовщика" после получения сигнала "больше" (правая чаша перевесила) оказываются "сложнее" по сравнению с его действиями после получения сигнала "меньше" (весы остались в исходном положении).
Обнаруженное свойство измерения и составляет содержание принципа асимметрии измерения [5]. Сложность действий «весовщика» после получения сигнала «больше» (ситуация b) определяется двумя факторами. Во-первых, он должен снять гирю и, во-вторых, учесть время, затрачиваемое на «восстановление» весов в исходное положение. Введение восстановительного периода устройства сравнения (рычажных весов) и учет этого периода в математической модели измерения и его алгоритме и является центральной идеей алгоритмической теории измерения, вытекающей из принципа асимметрии измерения.
Новая формулировка «задачи о гирях»
Введем теперь обнаруженное выше свойство измерения в «задачу о гирях», предложенную Фибоначчи. С этой целью будем рассматривать измерение как процесс, протекающий в дискретные моменты времени; и пусть операция «добавить гирю» выполняется за одну единицу дискретного времени, а операция «снять гирю» (которая сопровождается возвратом рычажных весов в исходное положение) выполняется за p единиц дискретного времени, причем p {0, 1, 2, 3, ...}.
Ясно, что параметр p как бы моделирует «инерционность» рычажных весов. При этом случай p=0 соответствует той «идеальной ситуации», когда мы пренебрегаем «инерционностью» рычажных весов. Именно этот случай и рассматривал Фибоначчи. Для остальных случаев p > 0 мы имеем новые варианты «задачи о гирях», решение которых и составляет основное содержание рассматриваемой теории.
И наиболее неожиданным результатом изложенной в [3] алгоритмической теории измерения явилось доказательство того удивительного факта, что для заданного р «оптимальная система гирь» описывается с помощью р-чисел Фибоначчи, задаваемых рекуррентным соотношением (6), (7). При этом при заданном р «оптимальный» алгоритм измерения «генерирует» следующий способ позиционного представления натуральных чисел N:
N = anFp(n) + an-1Fp(n-1) + ... + aiFp(i) + ... + a1Fp(1), | (8) |
где ai{0, 1} – двоичная цифра i-го разряда кода (8); n – разрядность кода (8); Fp(i) – вес i-го разряда, вычисляемый в соответствии с рекуррентным соотношением (6), (7). Позиционное представление натурального числа N в виде (8) называется р-кодом Фибоначчи числа N. Сокращенная запись суммы (8) имеет следующий вид:
Заметим, что понятие p-кода Фибоначчи включает в себя бесконечное число различных методов позиционного представления, потому что каждое p «порождает» свой собственный p-код Фибоначчи (p = 0, 1, 2, 3, ...).
Пусть p = 0. Для этого случая 0-числа Фибоначчи F0(i) совпадают с «двоичными» числами, то есть F0(i) = 2i-1 . Представление (8) для этого случая принимает следующую хорошо известную форму:
N = an2n-1 + an-12n-2 . + ... + ai2i-1 . + ... + a120 . | (10) |
Пусть
p = . В этом случае каждое
p-число Фибоначчи равно 1, то есть мы имеем для любого
i:
Fp(
i) = 1. Тогда представление (8) принимает следующий вид:
 .
| (11) |
Таким образом,
p-коды Фибоначчи являются весьма широким обобщением «двоичного» кода (10) и включают его в качестве частного случая, соответствующего
p = 0. С другой стороны,
p-коды Фибоначчи включают в себя так называемый «унитарный» код (11), соответствующий другому крайнему значению
p = .
Однако наиболее неожиданным является частный случай представления (8), соответствующий р=1. Для этого случая рекуррентная формула (6), (7) принимает следующий вид:
F1(i) = F1(i-1) + F1(i -2) при i > 2; | (12) |
F1(1) = F1(2) = 1. | (13) |
Ясно, что рекуррентная формула (12), (13) задает классические числа Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … . Переходя теперь к традиционным обозначениям для чисел Фибоначчи, мы можем записать:
F1(i) =Fi. (14)
И тогда с учетом (14) мы можем записать выражение (9.4), задающее р-код Фибоначчи, в виде:
N = anFn + an-1Fn-1 + ... + aiFi + ... + a1F1, | (15) |
Выражение (15) хорошо известно в математической литературе под названием «представление Цекендорфа» или «сумма Цекендорфа».
Основной результат алгоритмической теории измерения
Дальнейшее обобщение задачи Баше-Менделеева состоит в увеличении рычажных весов от 1 до k (k – натуральное число), причем на левые чаши всех весов положен один и тот же груз Q (такая ситуация соответствует случаю “параллельных измерений», когда одна и та же измеряемая величина сравнивается с «эталонными величинами» с помощью k «компараторов» (такой прием широко используется при измерении электрических величин). В этом случае обобщенная «задача о гирях» может быть сформулирована следующим образом: требуется найти «оптимальный» n-шаговый алгоритм взвешивания (измерения) с помощью системы из k рычажных весов («компараторов»), обладающих «инерционностью» р, при условии, что на каждом шаге измерения гири («эталонные величины») разрешается класть на свободные чаши тех и только тех рычажных весов («компараторов»), которые на этом шаге находятся в исходном положении «больше». И эта достаточно сложная математическая задача также была решена [3], а ее решение сводится к следующей рекуррентной формуле:
Fp(n, k) = Fp(n; pt+1, pt+2, ... , pk) =  Fp(n-1;  pt+1 - 1, pt+2 - 1, ... , pk - 1,  .) .
| (16) |
Fp(1;  pt+1, pt+2, ... , pk) = t + 1. | (17) | |
Анализ рекуррентной формулы (16) при начальном условии (17) привел к неожиданным результатам (см. таблицу ниже). Оказалось, что решение (16), (17) обобщенного варианта задачи Баше—Менделеева включает в качестве частных случаев комбинаторные формулы для числа размещений с повторениями (k+1)n, для числа сочетаний для двоичного (2n) и натурального (n+1) рядов чисел, а также рекуррентное соотношение для р-чисел Фибоначчи.
| | p = 0 | | 0  p | | p = | |
| k 1 | (k+1)n | | Fp(n, k) | | | Бином. коэф. |
| | | | | | | |
k = 1 | 2n | | Fp(n) = Fp(n-1) + Fp(n-p-1) | | n+1 | |
| | Двоичный ряд | | p-числа Фибоначчи | | Натуральный ряд | |
Об оптимальных алгоритмах измерения, размножении кроликов, делении биологических клеток и компьютерах Фибоначчи
В чем же состоит значение «алгоритмической теории измерения» для развития современной науки, в частности, математики? Прежде всего, отметим, что полученный выше результат сам по себе представляет интерес, как для комбинаторики, так и для теории чисел, однако он может привести к более глубоким выводам методологического характера, если принять во внимание высказывание известного историка математики Э. Кольмана о том, что «при своем зарождении понятие числа, ставшее затем основой арифметики, не только имело конкретный характер, но и было неотделимо от понятия измерения, легшего позднее в основу геометрии. В процессе дальнейшего развития математики эти понятия все больше дифференцируются и вместе с тем каждый раз на новом, высшем этапе происходит их объединение».
Математики-фибоначчисты предложили много интересных обобщений для рекуррентной формулы Фибоначчи. Ясно, что основное рекуррентное соотношение алгоритмической теории измерения, задаваемое (16), (17), может рассматриваться как наиболее широкое обобщение «фибоначчиевого» рекуррентного соотношения. И такой подход представляет интерес прежде всего для расширения «фибоначчиевых» исследований.
Следующий методологический вывод состоит в следующем: «алгоритмическая теория измерения» является источником новых идей в развитии позиционных систем счисления. По существу, алгоритмическая теория измерения является некоторым итогом тысячелетних исследований в области систем счисления. При этом алгоритмическая теория измерения предлагает бесконечное число новых, неизвестных до сих пор систем счисления. И эта идея может привести к новым компьютерным проектам и один из таких проектов («Компьютеры Фибоначчи») уже получил реализацию в современной компьютерной технике [7].
И еще об одном весьма интересном приложении алгоритмической теории измерения. В математике существует важное понятие «изоморфизма», когда одна и та же математическая модель используется для описания различных по своей физической природе задач. О таких задачах в математике говорят, что они являются «изоморфными». Раньше мы показали, что каждый алгоритм измерения, основанный на р-числах Фибоначчи, изоморфен р-коду Фибоначчи (10). Но можно также показать, что алгоритмы измерения, основанные на р-числах Фибоначчи, изоморфны также «задаче о размножении кроликов» и «задаче о делении биологических клеток», потому что они описываются с помощью одних и тех же математических графов. И это дает нам основание утверждать, что «алгоритмическая теория измерения» является математической теорией, которая может быть использована не только для исследования новых позиционных систем счисления, но также стать основой для дальнейшего развития математической теории биологических популяций [6].
Евклидово определение натурального числа
Число является едва ли не главным понятием математики и сакральной геометрии. В течение многих тысячелетий это понятие уточнялось и совершенствовалось. В основе классической теории чисел лежит следующее определение натурального числа, основанное на геометрическом подходе и изложенное в «Началах Евклида».
Пусть
представляет собой бесконечное множество геометрических отрезков, называемых «монадами» или единицами. Тогда согласно Евклиду натуральное число N определяется следующим образом:
N = 1 + 1 + 1 + … + 1 (N раз). | (19) |
Несмотря на предельную простоту такого определения, оно сыграло огромную роль в развитии теории чисел и лежит в основе многих полезных математических понятий, в частности, понятий простого и составного числа, умножения, деления, а также понятий делимости и сравнения, которые являются важнейшими понятиями элементарной теории чисел, то есть определение (19) «порождает» как натуральные числа, так и всю проблематику их теории.
Конструктивный подход к определению числа
Известен также «конструктивный подход» к определению числа, согласно которому всякое «конструктивное» действительное число А является некоторым математическим объектом, задаваемым с помощью следующей математической формулы:
, (20)
где ai{0, 1} и i = 0, ±1, ±2, ±3, … .
Определение числа, задаваемое (20), имеет следующую геометрическую интерпретацию. Пусть
B = {2n} (21)
множество геометрических отрезков длины 2n (n = 0, ±1, ±2, ±3, …). Тогда «конструктивными» действительными числами называются все математические объекты, которые могут быть представлены в виде конечной суммы геометрических отрезков из (21) в виде (20).
Ясно, что определение (20) выделяет из множества действительных чисел некоторую часть чисел, которые могут быть представлены в виде суммы (20). Такие числа мы будем называть
конструктивными. Все остальные действительные числа, которые не могут быть представлены в виде суммы (20), являются
неконструктивными. Ясно, что к «неконструктивным» числам относятся
, прежде всего, все иррациональные числа, в частности, главные математические константы
p и
е, число
, «золотое сечение» и т.д. Но в рамках определения (20) к разряду «неконструктивных» мы должны отнести и некоторые рациональные числа (например, 2/3, 3/7 и т.д.), называемые «периодическими дробями», которые не могут быть представлены в виде конечной суммы (20).
Заметим, что хотя определение (20) значительно ограничивает множество действительных чисел, это никак не умаляет его значение с «практической», вычислительной точки зрения. Легко доказать, что любое «неконструктивное» действительное число может быть представлено в виде (20) приближенно, причем ошибка приближения
будет неограниченно уменьшаться по мере увеличения числа членов в (20), однако
D0 для «неконструктивных» действительных чисел. По существу, в современных компьютерах мы пользуемся только «конструктивными» числами, задаваемыми (20), и это нас вполне устраивает, потому что любое «неконструктивное» число может быть представлено в виде (20) с погрешностью, потенциально стремящейся к 0.
В 17-м веке, то есть в период зарождения современной науки и математики, разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов, и понятие действительного числа вновь выходит на передний план. Наиболее отчетливо новое определение действительного числа дается одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном в его «Всеобщей Арифметике»:
«Под числами мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу».
Эта формулировка дает нам единое определение действительного числа, рационального или иррационального. Если теперь рассмотреть «Евклидово определение числа» (19) с точки зрения «определения Ньютона», то в качестве «другой величины того же рода, принятой за единицу», выступает «монада». В двоичной системе счисления (20) роль такой «единицы», играет число 2, то есть основание системы счисления.
Новое конструктивное определение действительного числа
Рассмотрим теперь бесконечное множество геометрических отрезков, являющихся степенями золотой р-пропорции tp :
Gp ={  }, | (22) |
где
р принимает значения из множества {0, 1, 2, 3, …}, а
n – из множества {0,
±1,
±2,
±3, …}; при этом все степени
связаны между собой математическим тождеством (5).
Используя множество (22), можно «сконструировать» следующий метод позиционного представления действительных чисел:
, (23)
где ai{0, 1} и i = 0, ±1, ±2, ±3, … .
Заметим, что выражение (23) «генерирует» бесконечное количество позиционных способов представления чисел (систем счисления), так как каждому
р (
р=0, 1, 2, 3, …) соответствует своя система счисления типа (23). Заметим, что при
р=0 основание
р = 0 = 2 и система счисления (23) сводится к классической двоичной системе (20).
Рассмотрим случай
р=1. Для этого случая основанием системы счисления (23) является классическое «золотое сечение»
= и система (23) вырождается в «Тау-систему», введенную в 1957 г. американским математиком Джорджем Бергманом [8]. Бергман назвал свою «Тау-систему»
системой счисления с иррациональным основанием. Любопытно отметить, что статья [8] написана Бергманом в возрасте 12 лет! Сейчас Джордж Бергман является профессором одного из американских университетов.
Заметим также, что выражение (23) было введено автором настоящей статьи в 1980 г. [9] и названо «кодом золотой р-пропорции». Теория этих систем счисления изложена в [10].
Рассмотрим теперь случай
р=. Для этого случая основание
р стремится к 1, а это означает, что в пределе выражение (23) сводится к классическому Евклидовому определению числа, задаваемому (19).
Таким образом, мы можем рассматривать позиционный способ представления чисел, задаваемый (23), как весьма широкое обобщение и развитие «Евклидового определения» числа (19) и конструктивного определения (20).
Некоторые свойства систем счисления с иррациональными основаниями
Каждый человек на земном шаре, окончивший хотя бы четыре класса начальной или «церковно-приходской» школы, знает, по меньшей мере, две полезные вещи: он умеет писать и читать и использовать десятичную систему счисления для выполнения простейших арифметических операций. И эта система кажется нам настолько простой и элементарной, что многие из нас с большим недоверием отнесутся к утверждению, что позиционный принцип представления чисел и десятичная система счисления являются крупнейшими математическими открытиями за всю историю математики. И чтобы убедить читателя в этом, обратимся к мнению «авторитетов».
Пьер Симон Лаплас (1749-1827), французский математик, член Парижской академии наук, почетный иностранный член Петербургской академии наук:
«Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой».
М.В. Остроградский (1801-1862), русский математик, член Петербургской академии наук и многих иностранных академий:
«Нам кажется, что после изобретения письменности самым большим открытием было использование так называемой десятичной системы счисления. Мы хотим сказать, что соглашение, с помощью которого мы можем выразить все полезные числа двенадцатью словами и их окончаниями, является одним из самых замечательных созданий человеческого гения …»
Жюль Таннери (1848-1910), французский математик, член Парижской академии наук:
«Что касается до нынешней системы письменной нумерации, в которой употребляется девять значащих цифр и ноль, и относительное значение цифр определяется особым правилом, то эта система была введена в Индии в эпоху, которая не определена точно, но, по-видимому, после христианской эры. Изобретение этой системы есть одно из самых важных событий в истории науки, и несмотря на привычку пользоваться десятичной нумерацией, мы не можем не изумляться чудной простоте ее механизма».
Что же нового дают системы счисления (23), для развития науки и математики? Прежде всего, заметим, что системы счисления (23) полностью переворачивают наши традиционные представления о позиционных системах счисления. До публикации работ [8, 9, 10] традиционно считалось, что основанием системы счисления могут быть только натуральные или целые числа, то есть началом счисления могут быть некоторые целые числа, например, 2 («двоичная система»), 10 («десятичная система»), 12 («двенадцатеричная система»), 60 («вавилонская система») и т.д., с помощью которых с использованием позиционного принципа может быть представлено любое действительное число.
Системы счисления (23) являются «двоичными» по количеству цифр 0 и 1, используемых для представления чисел, и отличаются от классической «двоичной системы» тем, что в системах счисления (23) в качестве основания системы выступает некоторое действительное число р , которое для р>0 всегда является иррациональным, то есть мы имеем дело с принципиально новым классом систем счисления – системами счисления с иррациональными основаниями!
Заметим, что выражение (23) разделяет все действительные числа на две группы, «конструктивные числа», которые могут быть представлены в виде конечной суммы степеней золотой р-пропорции в виде (23), и «неконструктивные» числа, которые не могут быть представлены в виде суммы (23).
Ясно, что все степени золотой
р-пропорции типа
(
i = 0,
±1,
±2,
±3, …) могут быть представлены в виде (23). Например,
Это означает, что все иррациональные числа типа (степени золотой
р-пропорции) являются «конструктивными числами» в рамках определения (23). Из определения (23) также вытекает, что все действительные числа, являющиеся суммами степеней золотой
р-пропорции, также являются «конструктивными числами» в смысле (23). Например, действительное число
А = 
+
+ в соответствии с (23) может быть представлено в виде следующей кодовой комбинации:
А = 100,101.
Заметим, что возможность представления некоторых иррациональных чисел (степеней золотой р-пропорции и их сумм) в виде конечной совокупности «битов» является весьма необычным свойством введенных выше позиционных представлений (23), так как до сих пор считалось, что никакое иррациональное число не может быть представлено в виде конечной совокупности цифр.
Представление натуральных чисел
Рассмотрим теперь представление натуральных чисел в системах счисления (23), то есть рассмотрим все возможные суммы типа:
(24)
где
N – некоторое натуральное число,
р - основание системы счисления (24),
ai{0, 1},
i = 0,
±1,
±2,
±3, … .
В работе [10] показано, что все представления типа (24) являются конечными, то есть любая сумма такого типа состоит из конечного числа степеней золотой р-пропорции. Например, для случая р=1 (система счисления Бергмана) имеют место следующие представления для начального отрезка натуральных чисел:
1 = 1,0; 2 = 10,01; 3 = 100,01; 4 = 101,01; 5 = 1000,1001; 6 = 1010,0001; 7 = 10000,0001
и т.д.
Все эти двоичные коды представляют собой ни что иное, как сокращенные изображения некоторых сумм степеней «золотой пропорции». Например, «священное» число 5 в системе счисления Бергмана представляет собой сокращенное изображение следующей суммы:
5 = 1000,1001 = t3 + t-1 + t-4 (25)
Для того чтобы убедиться в справедливости выражения (25), достаточно воспользоваться следующей формулой, полученной еще в 19 в. французским математиком Бине и задающей связь чисел Фибоначчи Fn и чисел Люка Ln с золотой пропорцией t:
. (26)
где индексы i для чисел Фибоначчи и Люка принимают значения из множества {0, ±1, ±2, ±3, … }.
Напомним, что числа Фибоначчи и Люка [11, 12] представляют собой две бесконечные числовые последовательности, простирающиеся от -
до +
, то есть задаваемые как для положительных, так и для отрицательных значений своих индексов
n (см. таблицу ниже)
. n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Fn | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
F-n | 0 | 1 | -1 | 2 | -3 | 5 | -8 | 13 | -21 | 34 | -55 |
Ln | 2 | 1 | 3 | 4 | 7 | 11 | 18 | 29 | 47 | 76 | 123 |
L-n | 2 | -1 | 3 | -4 | 7 | -11 | 18 | -29 | 47 | -76 | 123 |
Как вытекает из указанной таблицы, члены последовательностей Fn и Ln обладают рядом чудесных математических свойств. Например, для нечетных n=2k+1 члены последовательностей Fn и F-n совпадают, то есть F2k+1 = F-2k-1 , а для четных n = 2k они противоположны по знаку, то есть: F2k = -F-2k. Что касается чисел Люка Ln, то здесь все наоборот, то есть L2k = L-2k; L2k+1 = -L-2k-1.
Если теперь воспользоваться формулой (26) и указанной выше таблицей, то мы можем выразить все степени «золотой пропорции», встречающиеся в выражении (25), в следующем виде:
;
;
(27)
Если теперь просуммировать все степени «золотой пропорции», задаваемые (27), то все иррациональности сокращаются, и мы получим:
.
И подобные рассуждения могут быть проведены для любого натурального числа!
А теперь возвратимся на 2,5 тысячелетия назад и представим себе реакцию пифагорейцев на сформулированный выше результат. Согласно главной доктрине пифагорейцев «Все есть число» в основе мироздания лежат натуральные числа и их отношения, так как любую вещь в природе можно выразить как отношение двух натуральных чисел. Но в теории систем счисления с иррациональными основаниями [8, 9, 10] показано, что любое натуральное число может быть выражено через золотую пропорцию. Из этого рассуждения с необходимостью вытекает новая доктрина, которую пифагорейцы немедленно приняли бы, если бы знали о системах счисления с иррациональными основаниями: «Все есть Золотая Пропорция»! И они были бы недалеки от истины!
Z-свойство натуральных чисел
Как упоминалось выше, «Евклидово определение» (19), «порождает» не только натуральные числа, но и всю проблематику их теории. Но тогда можно высказать предположение, что новые определения действительного числа, задаваемые (23), могут стать источником новых теоретико-числовых результатов. Более того, определение (23) является источником бесконечного количества новых теорий чисел, потому что каждому р соответствует своя теория чисел! Это утверждение вызовет некоторое недоумение у ортодоксальных математиков. О каких новых теориях чисел идет речь? Но ведь (после открытия Лобачевским «гиперболической геометрии») математики вынуждены были свыкнуться с мыслью, что геометрия Евклида не является единственной геометрией для моделирования окружающего нас геометрического мира, что существует огромное количество равноправных «геометрий», каждая из которых может быть использована для геометрического изучения Природы, бесконечной в своих проявлениях! Так почему бы не свыкнуться с мыслью, что каждое из определений (23) «порождает» свою, необычную «теорию чисел», а все они вместе еще глубже раскрывают свойства такого удивительного математического объекта как «Число», лежащего в основе математики!
Рассмотрим один из новых теоретико-числовых результатов, которые получены в рамках новой концепции «числа», задаваемой (23). Это свойство называется Z-свойством натуральных чисел.
Для установления этого свойства обратимся еще раз к представлению натурального числа N в виде (24). Выражение (24) будем назвать t-кодом натурального числа N. Заметим, что в формуле (24) дискретная переменная i принимает свои значения из множества {0, ±1, ±2, ±3, …}.
Воспользовавшись формулой (26), нетрудно доказать следующую теорему.
Теорема 1 (Z-свойство натуральных чисел). Если в выражении для t-кода любого натурального числа N, задаваемого выражением (24), заменить все степени золотой пропорции ti соответствующими числами Фибоначчи Fi (i=0, ±1, ±2, ±3, …), то возникающая при этом сумма тождественно равна нулю независимо от исходного натурального числа N.
Примем без доказательства еще одну теорему, которая является обобщением Теоремы 1.
Теорема 2 (Zр-свойство натуральных чисел). Если представить в виде (23) некоторое натуральное число N, то есть записать
, (28)
где
ai{0,1},
p – золотая
р-пропорция,
i=0,
±1,
±2,
±3, …,
р=1, 2, 3, … , а затем в выражении (28) заменить все степени золотой
р-пропорции соответствующими
р-числами Фибоначчи
Fp(
i), то возникающая при этом сумма всегда тождественно равна нулю независимо от исходного натурального числа
N .Заметим, что свойства, задаваемые Теоремами 1 и 2, справедливы только для натуральных чисел! Это означает, что наши исследования привели к открытию нового свойства натуральных чисел, называемого Z- или Zр-свойством (от слова «Zero» - нуль). И это фундаментальное свойство натуральных чисел не могло быть установлено раньше, потому что до публикации работ [8, 9, 10] системы счисления с иррациональными основаниями не были известны в математике!
Продемонстрируем Теорему 1 на конкретном примере. Снова обратимся к представлению «священного» числа 5 в виде (15). Заменим степени золотой пропорции в (25) соответствующими числами Фибоначчи, то есть рассмотрим сумму:
F3 + F-1 + F-4. (29)
Если теперь воспользоваться вышеупомянутой таблицей для чисел Фибоначчи, то получим следующее:
F3 + F-1 + F-4 = 2 + 1 + (-3) = 0,
то есть для данного конкретного примера Z-свойство выполняется.
Сейчас трудно предсказать, как может быть интерпретирован этот уникальный математический результат в «сакральной геометрии». У автора возникает некоторая ассоциация с потусторонним миром и «черной дырой» (“Zero”), куда «проваливаются» все натуральные числа, представленные в виде (24) или (28), если степени золотой пропорции заменить в этих суммах соответствующими числами Фибоначчи!
Гиперболические функции Фибоначчи и Люка
На этапе зарождения науки и священной геометрии доминирующей являлась «Геометрия Евклида», описанная в знаменитых «Началах Евклида». Однако развитие геометрии привело к созданию так называемых «неевклидовых геометрий». Честь создания первой в истории науки «неевклидовой геометрии» по праву принадлежит гениальному русскому геометру Н.И. Лобачевскому. «Геометрию Лобачевского» часто называют «гиперболической геометрией», так как в ее основе лежат так называемые «гиперболические функции», основными их которых являются «гиперболический синус»
(30)
и «гиперболический косинус»
. (31)
Воспользовавшись формулой (26), можно показать, что числа Люка и Фибоначчи могут быть представлены в следующем виде:
| (32) |
| (33) |
Эти формулы называются формулами Бине [11,12]. Анализ формул (32), (33) дает нам возможность ощутить истинное эстетическое наслаждение и еще раз убедиться в мощи человеческого разума. Действительно, ведь мы знаем, что числа Фибоначчи и числа Люка, присутствующие в формулах (32), (33), всегда являются целыми числами (см. таблицу). С другой стороны, любая степень «золотой пропорции» является иррациональным числом. Отсюда вытекает, что целые числа Ln и Fn с помощью формул (32), (33) выражаются через специальные иррациональные числа. Таким образом, формулы (32), (33) как бы выступают в качестве связующего звена между целыми числами и иррациональными. И стоит лишь удивляться, почему формулы Бине, представляющие собой, несомненно, одно из крупнейших математических открытий 19-го века, до сих пор не получили в «священной геометрии» должной оценки и интерпретации
Сравнение формул (32), (33) с гиперболическими функциями (30), (31) обнаруживает их схожесть. Это и стало основой для введения в [13] нового класса гиперболических функций, названных гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка.
(1) Фибоначчиевый гиперболический синус
 .
| (34) |
(2) Фибоначчиевый гиперболический косинус
 .
| (35) |
(3) Люковый гиперболический синус
(4) Люковый гиперболический косинус
Заметим, что для дискретных значений переменной x=k фибоначчиевые и люковые гиперболические функции (34)-(37) совпадают с числами Фибоначчи и числами Люка, причем
sFk = F2k; cFk = F2k+1; sLk = L2k+1; cLk = L2k. | (38) |
Свойство (38) является характерной особенностью введенных выше гиперболических функций Фибоначчи и Люка по сравнению с классическими гиперболическими функциями (30), (31), которые, однако, не имеют «дискретного аналога».
Нет никаких сомнений в том, что обнаруженная выше связь чисел Фибоначчи и чисел Люка с гиперболическими функциями представляет фундаментальный интерес для современной науки и «священной геометрии» и может стать источником новых идей и интерпретаций. Роль полученного результата для развития науки и математики трудно переоценить, если вспомнить ту роль, которую гиперболические функции играют в новейшей геометрии и физике («гиперболическая геометрия» Лобачевского, «четырехмерный мир» Минковского и др.). И пожалуй, наиболее убедительным свидетельством эффективности применения гиперболических функций Фибоначчи и Люка для моделирования процессов в живой природе является новая геометрическая теория филлотаксиса, разработанная украинским ученым Олегом Боднаром [14].
Заметим, что приоритет в открытии нового класса гиперболических функций принадлежит украинским ученым А. П. Стахову и И.С. Ткаченко, опубликовавшим в 1993 г. статью [13] согласно рекомендации выдающегося украинского математика академика Ю. А. Митропольского.
Q-матрица
В последние десятилетия теория чисел Фибоначчи дополнилась теорией матрицы специального типа, названной Q-матрицей [12]. Последняя представляет собой простейшую квадратную матрицу размером 2x2 следующего вида:
(39)
Заметим, что детерминант Q-матрицы равен -1.
Но какое отношение имеет Q-матрица к числам Фибоначчи? Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно возвести Q-матрицу в n-ю степень. Тогда мы получим:
(40)
где Fn-1 , Fn , Fn+1 числа Фибоначчи.
Если теперь вычислить детерминант матрицы (40), то мы неожиданно придем к следующему замечательному тождеству, связывающем соседние числа Фибоначчи:
. (41) Эта удивительная формула является, пожалуй, одним из важнейших математических свойств чисел Фибоначчи. И она вызывает благоговейный трепет, если представить себе, что она справедлива для любого значения
n (напомним, что целое
n может принимать любое значение в пределах от -
до +
). Но она вызывает также истинное эстетическое наслаждение, потому что чередование +1 и –1 в выражении (41) при последовательном прохождении всех чисел Фибоначчи от -
до +
вызывает неосознанное чувство ритма и гармонии. Нет никаких сомнений, что эта замечательная формула и ее анализ может стать источником новых идей и интерпретаций в священной геометрии.
.
Обобщенные «фибоначчиевые» матрицы
Можно использовать идею «фибоначчиевой» Q-матрицы для получения обобщенных «фибоначчиевых» матриц, основанных на p-числах Фибоначчи [15]. Введем следующее определение для Qp-матрицы:
| (42) |
где индекс p принимает следующие значения: 0, 1, 2, 3, … .
Заметим, что Qp-матрица представляет собой квадратную (p+1)x(p+1)-матрицу. Она содержит единичную (pxp)-матрицу, ограниченную последней строкой, состоящей из нулей, и первым столбцом, который состоит из нулей, ограниченных единицами. Для случаев p = 0, 1, 2, 3, 4 Qp-матрицы имеют следующий вид соответственно:
Q0 = (1) ;
;
;
; .
Заметим, что для случая р=1 Qp-матрица (42) сводится к классической Q-матрице (39). Все матрицы Qp связаны друг с другом следующими удивительными соотношениями. Если в матрице Q4 вычеркнуть последний столбец и предпоследнюю строку, то она вырождается в матрицу Q3 . Вычеркнув теперь последний столбец и предпоследнюю строку в матрице Q3 , мы получим матрицу Q2 и т.д. Таким образом, каждая матрица Qp, с одной стороны, содержит в себе все предыдущие матрицы и, с другой стороны, входит во все последующие матрицы. Эта удивительная регулярность в построении матриц Qp вызывает неосознанное чувство ритма и гармонии!
Для степеней матрицы Qp в [15] доказаны следующие замечательные теоремы.
Теорема 3. Для заданного целого р (р = 1, 2, 3, …) и заданного целого n (n = 0, ±1, ±2, ±3, …) имеет место следующее выражение для n-й степени матрицы Qp :
| (43) |
Теорема 4.
Det = (-1)pn, (44)
где p = 0, 1, 2, 3, … ; n = 0, ±1, ±2, ±3, … .
И теперь мы можем выразить наше восхищение по поводу Теорем 3 и 4. Действительно, трудно вообразить, что p-числа Фибоначчи, которые были найдены при исследовании треугольника Паскаля, могут стать основой нового и весьма необычного класса квадратных матриц, задаваемых выражениями (42) и (43). Но каждому, кто знаком с теорией матриц, результат (44) может показаться совершенно невероятным! Невозможно вообразить, чтобы для любых заданных р (р=0, 1, 2, 3, …) и n (n = 0, ±1, ±2, ±3, …) детерминант матрицы (43) всегда был равен либо 1, либо (-1), что следует из (44)! Несомненно, что матрицы (42), (43) представляют большой интерес для современной теории матриц. Но ощущение «божественного характера» этих матриц, какой-то тайны, содержащихся в таких матрицах, дает основание высказать предположение, что рассмотренные выше матрицы Фибоначчи могут стать источником глубоких размышлений и философских трактовок!
Ясно, что выражения (43) и (44) представляют нам неограниченные возможности для «фибоначчиевых» исследований, потому что они позволяют получить бесконечное число фундаментальных соотношений, связывающих p-числа Фибоначчи Fp(n) с биномиальными коэффициентами и треугольником Паскаля. В настоящее время найдены весьма эффективные приложения рассмотренных выше Qp –матриц в теории кодирования [17]. Но нет никаких сомнений, что это только начало их победного шествия в современной науке! И ясно также, что теория обобщенных матриц Фибоначчи (42), (43) ждет своей качественной интерпретации в рамках сакральной геометрии!
Структура Математики Гармонии
Теоретико-числовой фундамент классической математики
Вспомним определение математики, данное выдающимся русским математиком академиком Колмогоровым:
«Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира»
Из этого определения вытекает, что именно понятия «числа» и «величины» являются теми фундаментальными теоретико-числовыми понятиями, на которых основывается математика и прежде всего тот ее начальный раздел, который принято называть «Элементарной Математикой».
Можно выделить, по крайней мере, три важнейшие теоретико-числовых понятия, которые изучала «Элементарная Математика» на протяжении нескольких тысячелетий:
(1) Понятие натурального числа, которое исторически возникло из «проблемы счета» и привело к созданию «теории чисел», которая является исторически первой «фундаментальной теорией математики» («царица математики»).
(2) Понятие иррационального числа, которое исторически возникло из «проблемы измерения» (открытие «несоизмеримых отрезков»); для решения «проблемы несоизмеримости» и обоснования понятия «иррационального числа еще в Древней Греции возникла «математическая теория измерения», основанная на «методе исчерпывания Евдокса».
(3) Наконец, третьим важнейшим теоретико-числовым понятием математики являются «фундаментальные математические константы», которые выражают наиболее характерные количественные отношения объективного мира и «порождают» важнейшие классы математических функций, называемых «элементарными функциями», с помощью которых осуществляется моделирование количественных закономерностей объективного мира. Основными математическими константами в математике считаются число p и «неперово» число е. Число p порождает «тригонометрические функции», важнейший класс «элементарных функций», без которых невозможно представить существование математики. Число е, вторая важнейшая математическая константа, было введено в математику в 16 в., после открытия логарифмов, что знаменовало собой выдающийся прорыв в вычислительной практике. Число е порождает экспоненциальную, логарифмическую, наконец, гиперболические функции, лежащие в основе геометрии Лобачевского и «четырехмерного мира Минковского».
Теоретико-числовой фундамент «Математики Гармонии»
По аналогии с теоретико-числовым фундаментом классической математики можно выдвинуть три фундаментальные идеи, составляющие теоретико-числовой фундамент «Математики Гармонии»:
(1) Первая идея есть новая теория измерения, называемая «алгоритмической теорией измерения» [3, 4]. В своих истоках эта теория восходит к знаменитой «задаче о гирях», называемой в русской историко-математической литературе «задачей Баше-Менделеева». Ее основным научным результатом является «прорыв» в области позиционных систем счисления. В рамках алгоритмической теории измерения получено бесконечное количество новых, неизвестных ранее систем счисления, основанных на числах Фибоначчи, биномиальных коэффициентах и т.д.
(2) Вторая идея состоит в следующем. Предлагается к числам p и e, как главным математическим константам «классической математики», добавить «обобщенные золотые пропорции» или «золотые р-пропорции», выражающие некоторые важные математические свойства «Треугольника Паскаля», в частности, классическую «золотую пропорцию», а вместе с ней добавить к «элементарным функциям» новый класс элементарных функций, гиперболические функции Фибоначчи и Люка [13].
(3) Еще одна идея состоит в новом геометрическом определении числа, основанном на понятии «золотых р-пропорций». Такое определение обобщает классическое Евклидово определение числа и «порождает» новые позиционные системы счисления - системы счисления с иррациональными основаниями, обладающие рядом нетривиальных теоретико-числовых свойств (Z-свойство натуральных чисел). Новые системы счисления переворачивают исторически-сложившееся соотношение между числами рациональными и иррациональными, выдвигая на передний план специальный класс иррациональных чисел, «золотые р-пропорции», и являются источником новых теорий чисел, вытекающих из новых способов представления чисел.
Таблица ниже проводит параллель между основаниями «классической математики» и «Математики Гармонии».
Основания классической «Элементарной Математики» | Основания «Математики Гармонии» |
Евклидово определение числа; натуральные числа; классическая теория чисел | Новое определение числа, основанное на обобщенных золотых сечениях; обобщенные числа Фибоначчи; теория чисел Фибоначчи, новая теория чисел |
Классическая теория измерения; иррациональные числа | Алгоритмическая теория измерения; новые числовые последовательности и системы счисления |
Классические математические константы, числа  и e; классические элементарные функции | Золотое сечение; обобщенные золотые сечения; гиперболические функции Фибоначчи и Люка |
Следует отметить, что «Математика Гармонии» ни в коем случае не отрицает «классическую математику» и является лишь ее дополнением, будучи новым математическим аппаратом, который может быть эффективно использован для изучения тех процессов объективного мира, где «золотое сечение» и числа Фибоначчи являются сутью того или иного физического или биологического явления (квазикристаллы, филлотаксис, произведения искусства и др.).
Структура «Математики Гармонии» представлена в таблице ниже.
| | Алгоритмическая теория измерения | |
| | | |
| | Теория чисел Фибоначчи | |
| | |
Гиперболические функции Фибоначчи и Люка | | Новая теория кодирования и «фибоначчиевая» компьютерная арифметика |
| | |
Новая геометрическая теория филлотаксиса (геометрия Боднара) | Структурная гармония систем | Теория компьютеров Фибоначчи |
| | |
Биология | Искусство и Технология | Информатика |
| | | | |
«Сердцем» новой математики является «алгоритмическая теория измерения», которая «генерирует» бесконечное число числовых последовательностей, в частности, p-числа Фибоначчи, биномиальные коэффициенты, последовательности двоичных и натуральных чисел. Эти числовые последовательности приводят к расширению теории чисел Фибоначчи. Алгоритмическая теория измерения приводит также к развитию позиционных систем счисления, восходящим к Вавилонской шестидесятеричной системе счисления. Благодаря такому подходу этот «старейший» раздел теории чисел превращается в оригинальную математическую теорию, являющуюся дополнением к классической теоретической арифметике.
Формулы Бине генерируют новый класс элементарных функций, гиперболические функции Фибоначчи и Люка. Эти функции являются ничем иным, как обобщением формул Бине на «непрерывную» область. Благодаря этим функциям теория чисел Фибоначчи превращается в «непрерывную» теорию, потому что каждое математическое соотношение для функций Фибоначчи и Люка имеет дискретный аналог, соответствующий некоторому «дискретному» соотношению для чисел Фибоначчи и Люка. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка являются основой для новой геометрии филлотаксиса (геометрии Боднара), которая является блестящим подтверждением эффективности гиперболических функций Фибоначчи и Люка для моделирования биологических процессов.
Как известно, классический математический анализ, основанный на числах
p и
e, был создан как математическая теория для моделирования механических процессов («Ньютоновская теория гравитации»). Из сравнения классического математического анализа с Математикой Гармонии вытекает, что «Математика Гармонии», основанная на золотом сечении, является интересным дополнением к классическому математическому анализу, его расширением для моделирования биологических и информационных процессов. Благодаря этому подходу золотое сечение наряду с числами
и
e должно занять достойное место в основаниях математики.
Приложения золотого сечения в искусстве широко известны. «Математика Гармонии» порождает новые геометрические пропорции (золотые p-пропорции), лежащие в основе «Закона структурной гармонии систем» [5], имеющего отношение к любым самоорганизующимся системам. Эти пропорции значительно расширяют математические основы «сакральной геометрии» и являются источником для ее развития.
Тайна Египетского календаря
Почему египтяне разделили год на 12 месяцев?
С древнейших времен в странах Восточной и Юго-Восточной Азии при составлении календарей большое значение придавали периодичности движения Солнца, Луны, а также Юпитера и Сатурна, двух гигантских планет Солнечной системы. Есть основание предполагать, что идея создания юпитерианского календаря с небесной символикой 12-летнего животного цикла связана с вращением Юпитера вокруг Солнца, который делает полный оборот вокруг Солнца примерно за 12 лет (11,862 года). С другой стороны вторая гигантская планета Солнечной системы – Сатурн делает полный оборот вокруг Солнца примерно за 30 лет (29, 458 года). Желая согласовать циклы движения гигантских планет, древние китайцы пришли к идее введения 60-летнего цикла Солнечной системы. В течение этого цикла Сатурн делает 2 полных обороты вокруг Солнца, а Юпитер - 5 оборотов.
Одним из первых солнечных календарей был египетский, созданный в 4-м тысячелетии до н.э. Первоначально египетский календарный год состоял из 360 дней. Год делился на 12 месяцев ровно по 30 дней в каждом. Однако позже было обнаружено, что такая длительность календарного года не соответствует астрономическому. И тогда египтяне добавили к календарному году еще 5 дней, которые однако не были днями месяцев. Это были 5 праздничных дней, соединявших соседние календарные годы. Таким образом, египетский календарный год имел следующую структуру: 365 = 12x30 + 5. Заметим, что именно египетский календарь является прообразом современного календаря.
Возникает вопрос: почему египтяне разделили календарный год на 12 месяцев? Ведь существовали календари с другим количеством месяцев в году. Например, в календаре майя год состоял из 18 месяцев по 20 дней в месяце. Следующий вопрос, касающийся египетского календаря: почему каждый месяц имел ровно 30 дней (точнее суток)? Можно поставить некоторые вопросы и по поводу египетской системы измерения времени, в частности по поводу выбора таких единиц времени, как
час, минута, секунда. В частности, возникает вопрос: почему единица часа была выбрана таким образом, чтобы она 24 раза укладывалась в сутки, то есть, почему 1 сутки = 24 (2
x12) часа? Далее: почему 1 час = 60 минут, а 1 минута = 60 секунд? Эти же вопросы относятся и к выбору единиц угловых величин, в частности: почему окружность разбита на 360
°, то есть, почему 2
=360
°=12
x30
°? К этим вопросам добавляются и другие, в частности: почему астрономы признали целесообразным считать, что существует 12 «зодиакальных» знаков, хотя на самом деле в процессе своего движения по эклиптике Солнце пересекает 13 созвездий? И еще один «странный» вопрос: почему вавилонская система счисления имела весьма необычное основание – число 60?
Числовые характеристики додекаэдра и икосаэдра
Анализируя поставленные выше вопросы, мы обнаруживаем, что в них с удивительным постоянством повторяются четыре числа: 12, 30, 60 и производное от них число 360 = 12x30. Возникает вопрос: не существует ли какой-то научной идеи, которая могла бы дать простое и логичное объяснение использованию этих чисел в египетском календаре, их системе измерения времени и системе измерения углов?
Для ответа на это вопрос обратимся к додекаэдру и икосаэдру, изображения которых взяты из книги Луки Пачиоли «Divina Proportione”. Хорошо известно, что Леонардо да Винчи иллюстрировал книгу Луки Пачиоли.
Рисунок 3. Додекаэдр и икосаэдр
(из книги Луки Пачиоли «Божественная пропорция»)
В таблице приведены числовые характеристики додекаэдра и икосаэдра.
| | Грани | Ребра | Вершины | Плоские углы |
Додекаэдр | 12 | 30 | 20 | 60 |
Икосаэдр | 20 | 30 | 12 | 60 |
Дуальность додекаэдра и икосаэдра проявляется в том, что число граней додекаэдра (12) в точности совпадает с числом вершин икосаэдра, а число граней икосаэдра (20) в точности равно числу вершин додекаэдра, но оба они имеют одно и то же число ребер (30). Кроме того, существует еще одна числовая характеристика, связывающая додекаэдр и икосаэдр – число плоских углов на поверхности этих пространственных фигур. Поскольку гранями додекаэдра являются правильные пятиугольники (число углов 5), а число граней равно 12, то число плоских углов на его поверхности равно произведению: 5x12=60. С другой стороны, гранями икосаэдра являются равносторонние треугольники (число углов 3), а число граней равно 20; отсюда вытекает, что число плоских углов на поверхности икосаэдра равно произведению: 3x20=60.
Додекаэдр и икосаэдр связаны с золотым сечением. Эта связь проявляется уже в том факте, что гранями додекаэдра являются пентаграммы, которые буквально «нашпигованы» золотыми пропорциями. И хотя гранями икосаэдра являются равносторонние треугольники, но в каждой вершине сходятся 5 равносторонних треугольников, внешние стороны которых образуют пентаграмму. Таким образом, икосаэдр оказывается также связанным с золотой пропорцией через пентаграмму.
Связь додекаэдра с египетским календарем
Знали ли египтяне додекаэдр? Историки математики признают, что древние египтяне обладали сведениями о правильных многогранниках. Но знали ли они все пять правильных многогранников, в частности додекаэдр и икосаэдр, как наиболее сложные из них? Древнегреческий математик Прокл приписывает построение правильных многогранников Пифагору. Но ведь многие математические теоремы и результаты (в частности «Теорему Пифагора») Пифагор позаимствовал у древних египтян. Поэтому мы можем предположить, что знание о правильных многогранниках Пифагор также мог позаимствовать у древних египтян. Но существуют и другие, более веские доказательства того, что египтяне владели информацией о всех пяти правильных многогранниках. В частности, в Британском Музее хранится игральная кость эпохи Птоломеев, имеющая форму икосаэдра, то есть «Платонового тела», дуального додекаэдру. Все эти факты дают нам право выдвинуть гипотезу о том, что египтянам был известен додекаэдр. И тогда из этой гипотезы вытекает весьма стройная система, позволяющая дать объяснение происхождению египетского календаря, а заодно и происхождению египетской системы измерения временных интервалов и геометрических углов.
Ранее мы упоминали, что додекаэдр имеет 12 граней, 30 ребер и 60 плоских углов на своей поверхности (см. таблицу). Если исходить из гипотезы, что египтяне знали додекаэдр и его числовые характеристики 12, 30, 60, то каково же было их удивление, когда они обнаружили, что этими же числами выражаются циклы Солнечной системы: 12-летний цикл Юпитера, 30-летний цикл Сатурна и, наконец, 60-летний цикл Солнечной системы. Таким образом, между такой совершенной пространственной фигурой, как додекаэдр, и Солнечной системой, существует глубокая математическая связь. Такой вывод сделали античные ученые. Это и привело к тому, что додекаэдр был выдвинут в качестве «главной фигуры», которая символизировала «Гармонию Мироздания». И тогда египтяне решили, что все их главные системы (календарная система, система измерения времени, система измерения углов) должны соответствовать числовым параметрам додекаэдра! Поскольку по представлению древних движение Солнца по эклиптике имело строго круговой характер, то, выбрав 12 знаков Зодиака, дуговое расстояние между которыми равнялось ровно 30°, египтяне удивительно красиво согласовали годичное движение Солнца по эклиптике со структурой своего календарного года: один месяц соответствовал перемещению Солнца по эклиптике между двумя соседними знаками Зодиака! Более того, перемещение Солнца на один градус соответствовало одному дню в египетском календарном году! При этом эклиптика автоматически получалась разделенной на 360°. Разделив каждые сутки на две части, следуя додекаэдру, египтяне затем каждую половину суток разделили на 12 частей (12 граней додекаэдра) и тем самым ввели час – важнейшую единицу времени. Разделив один час на 60 минут (60 плоских углов на поверхности додекаэдра), египтяне таким путем ввели минуту – следующую важную единицу времени. Точно также они ввели секунду – наиболее мелкую на тот период единицу времени.
Таким образом, выбрав додекаэдр в качестве главной «гармонической» фигуры мироздания, и строго следуя числовым характеристикам додекаэдра 12, 30, 60, египтянам удалось построить чрезвычайно стройный календарь, а также системы измерения времени и угловых величин. Эти системы полностью согласовывалась с их «Теорией Гармонии», основанной на золотой пропорции, поскольку именно эта пропорция лежит в основе додекаэдра.
Вот такие удивительные выводы вытекают из сопоставления додекаэдра с Солнечной системой. И если наша гипотеза правильна (пусть кто-нибудь попытается ее опровергнуть), то отсюда следует, что вот уже много тысячелетий человечество живет «по золотому сечению»! И каждый раз, когда мы смотрим на циферблат наших часов, который также построен на использовании числовых характеристик додекаэдра 12, 30 и 60, мы прикасаемся к главной «Тайне Мироздания» - золотому сечению, сами того не подозревая!
Связь генетического кода с кодом Фибоначчи
Исходные данные о генетическом коде
Среди понятий биологии, хорошо формализованных и имеющих уровень общенаучной значимости, генетический код занимает особое место. Установление наукой ныне широко известного факта поразительной простоты основных принципов кодирования наследственной информации в живых организмах относится к числу важнейших открытий человечества. Эта простота заключается в том, что наследственная информация кодируется текстами из трехбуквенных слов – триплетов или кодонов, составленных на базе алфавита из четырех букв – азотистых оснований А (аденин), С (цитозин), G (гуанин), T (тимин). Данная система записи по существу едина для всего необозримого множества разнообразных живых организмов и называется генетическим кодом.
Хранителем триплетов генетического кода является всем известная «двойная спираль» Уотсона-Крика, представляющая молекулу ДНК, состоящая из двух взаимосвязанных параллельных цепей. Стандартизованные звенья этих цепей называются нуклеотидами. Вдоль каждой из цепей расставлены – по одному на каждый нуклеотид – указанные выше азотистые основания A, C, G и Т. При этом для двух цепей ДНК выполняется так называемое условие комплементарности: против основания А в одной цепи всегда стоит Т в другой, а против основания G всегда стоит С.
С помощью трехбуквенных триплетов или кодонов осуществляется кодирование 20 аминокислот. Различных комбинаций по три основания из четырех существует 43=64. В этой связи некоторые из 20 видов аминокислот кодируются сразу несколькими триплетами. Это называется вырожденностью кода. Нахождение соответствия между триплетами и аминокислотами (или знаками пунктуации для считывания) обычно трактуется как расшифровка генетического кода.
Хотя «расшифровка» генетического кода была осуществлена еще в начале 60-х годов 20-го столетия, но исследования в этой области интенсивно продолжаются. Особенно важными можно считать такие приложения «генной инженерии» как создание «био-компьютеров», основанных на ДНК. В этой связи весьма полезным является установление аналогий между генетическим кодом и способами кодирования, используемыми в современной информатики, в частности, с кодом Фибоначчи [3, 4, 7].
Для установления аналогии с генетическим кодом рассмотрим 6-разрядный код Фибоначчи, в котором весами разрядов являются числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8.
N = a6x8 + a5x5 + a4x3 + a3x2 + a2x1 + a1x1 (45)
Отметим следующие аналогии между шестиразрядным кодом Фибоначчи и триплетным кодированием наследственной информации:
(1) Первая аналогия. Шестиразрядный двоичный код Фибоначчи использует для представления чисел 26 = 64 двоичных кодовых комбинаций от 000000 до 111111, что совпадает с числом триплетов генетического кода 43 = 64.
(2) Вторая аналогия. Основной особенностью кода Фибоначчи является множественность представления чисел. За исключением минимального числа 0 и максимального числа 20, которые имеют в коде Фибоначчи единственные представления (соответственно 000000 и 111111), все остальные числа от 1 до 19 имеют в коде Фибоначчи множественное представление, то есть используют не меньше двух кодовых представлений. Следует отметить, что в генетическом коде также используется свойство множественности представления, которое называется «вырожденностью» генетического кодирования.
(3) Третья аналогия. С помощью 6-разрядного кода Фибоначчи можно закодировать 21 целое число, начиная с числа 0, которое изображается с помощью 6-разрядной двоичной комбинации: 00000, и заканчивая максимальным числом 20, которое изображается с помощью 6-разрядной кодовой комбинации 111111. Заметим, что, используя триплетное кодирование, в генетическом коде также представляется 21 объект, включая 20 аминокислот и один дополнительный объект в виде стоп-кодона (знак пунктуации), несущего в себе информацию об окончании белкового синтеза. Это означает, что с кодовой точки зрения генетический код имеет ту же кодовую избыточность, что и код Фибоначчи!
Таким образом, между 6-разрядным кодом Фибоначчи и генетическим кодом, основанном на триплетном представлении аминокислот, существуют весьма интересные аналогии, которые среди остальных способов избыточного кодирования выделяют код Фибоначчи в особый способ кодирования, изучение которого может способствовать раскрытию особенностей генетического кодирования. Можно высказать предположение, что подобные аналогии могут стать весьма полезными при решении проблемы создания био-компьютеров, основанных на ДНК.
И нет никаких сомнений в том, что эти удивительные совпадения количественных характеристик генетического кода и кода Фибоначчи могут стать источником новых интерпретаций для сакральной геометрии.
Создававшаяся в течение многих тысячелетий «Сакральная геометрия» - это путь познания Вселенной и человека. Пифагор относился к ней, как «к самой сокровенной науке Бога». Она воплотила в себе открытия многих посвященческих школ и метафизических традиций и гармонично соединила в себе все виды искусств и науки. Она доказывает, что геометрическая форма – это сосредоточение психической энергии, генератор силы, врата в другие пространства. Математические соотношения сакральной геометрии стали источником для развития многих оригинальных направлений современной науки и математики. Одним из них является так называемая «Математика Гармонии» [1], основанная на новых математических понятиях, таких, как р-числа Фибоначчи, обобщенные золотые сечения [3, 4], системы счисления с иррациональными основаниями [8, 9, 10], гиперболические функции Фибоначчи и Люка [13], матрицы Фибоначчи [15]. Все эти новые математические понятия уже эффективно используются в современной компьютерной науке. Особый интерес с точки зрения компьютерной науки представляет концепция «компьютеров Фибоначчи» [7, 9, 10], троичная зеркально-симметричная арифметика [16], представляющая собой синтез системы счисления Бергмана и троичной системы счисления, новая теория кодирования, основанная на матрицах Фибоначчи [17], новые методы цифровой обработки сигналов, основанных на обобщенных золотых сечениях [18]. Наконец, особый интерес может представлять новая концепция математического образования [20], основанная на идеях Гармонии и Золотого Сечения.
Интерес к числам Фибоначчи и золотому сечению и проблемам гармонии систем, возникший в современной науке, является подтверждением «естественного» хода развития современной науки, которая приближается к раскрытию законов гармонии, созданию новой научной картины мира, основанной на идеях гармонии, симметрии и золотого сечения. Это приведет к восстановлению и углублению связей между Наукой, Искусством и Религией как трех взаимно дополняющих друг друга методов раскрытия и отображения объективной гармонии Мироздания, а также к сближению «эзотерической» и «материалистической» науки! Для решения этих проблем в современной науке должна возникнуть новая интегральная наука, называемая «Наукой о Гармонии» [19], в которой числа Фибоначчи и золотое сечение должны занять достойное место.
1. Stakhov A.P. “The Golden Section and Modern Harmony Mathematics”. – Applications of Fibonacci Numbers, 1998, V. 7. – pp. 323-399.
2. Неаполитанский С.М., Матвеев С.А. Сакральная геометрия. – СПБ.: Издательство «Святослав», 2003. – 632 с.
3. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва: Издательство «Советское Радио», 1977. – 288 с.
4. Stakhov A.P. The Golden Section in the Measurement Theory // Computers & Mathematics with Applications, 1989, V. 17, No. 4-6. – pp. 613-638.
5. Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Минск: Издательство «Наука и техника», 1984. 264 с.
6. Spears C.P., Bicknell-Johnson M. Asymmetric Cell Division: Binomial Identities for Age Analysis of Mortal vs. Immortal Trees. - Applications of Fibonacci Numbers, 1998, V. 7. – pp. 377-291.
7. Помехоустойчивые коды. Компьютер Фибоначчи. Сборник статей. Москва: Издательство «Знание», 1989. – 64 с.
8. Bergman, G. A number system with an irrational base // Mathematics Magazine, 1957, No 31, pp. 98-119.
9. Стахов А.П. «Золотая» пропорция в цифровой технике // Автоматика и вычислительная техника, 1980, №1, с. 27-33.
10. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. Москва: Издательство «Радио и связь», 1984. – с. 152.
11. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. Москва: Наука, 1978. – 144 с.
12. Hoggat, Verner E. Fibonacci and Lucas Numbers. Palo Alto - Houghton-Mifflin, 1969. - 92 p.
13. Стахов А.П. , Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи // Доклады Академии наук Украины, 1993, вып. 7. – с. 9-14.
14. Боднар О.Я. Геометрія філотаксіса. – Доповіді Академії наук України, 1992, вип. 9. – с. 9-14.
15. Stakhov O.P. A generalization of the Fibonacci Q-matrix // Доповіді Національної академії наук України. 1999, № 9. – с. 46-49.
16. Stakhov A.P. Brousentsov’s Ternary Principle, Bergman’s Number System and Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic // The Computer Journal (British Computer Society), Vol. 45, No 2. – pp. 231-236.
17. Stakhov A.P., Massingua V., Sluchenkova A.A. Introduction into Fibonacci Coding and Cryptography. Kharkiv: Publisher “Osnova” of Kharkiv State University, 1999. – 236 p.
18. Chernov V.M., Pershina M.V. Fibonacci-Mersenne and Fibonacci-Fermat discrete transforms // Boletin de Informatica. The Golden Section: Theory and Applications, 1999, No 9-10. – pp. 25-31.
19. Стахов О.П. “Золотий переріз і наука про гармонію”. – Вісник Академії наук України., 1991, № 12. – с. 8-15.
20. Стахов О.П. Чи може бути створена нова елементарна математика, що базується на „Золотому Перетині”. „Наукові записки” Вінницького державного педагогічного університету ім.. М. Коцюбинського, серія „Фізика і математика”, вип. 1, 2002 р.
Стахов Алексей Петрович
Доктор технических наук, профессор
Академик академии инженерных наук Украины
Визитинг-профессор Венского технического университета (1976)
Визитинг-профессор Дрезденского технического университета (1988)
Профессор Университета Аль Фатех (Ливия, 1995-1997)
Профессор Университета Эдуардо Мондлане (Мозамбик, 1998-2000)
Визитинг-профессор Таганрогского государственного радиотехнического университета (2001)
Визитинг-профессор Харьковского Национального аэрокосмического университета (2002)
Визитинг-профессор Харьковского Национального университета (2003)
Автор около 400 научных работ, среди них 10 книг и 65 зарубежных патентов
Дорогой Профессор Стахов! Я восхищен Вашей статьей, наполненной интереснейшей информацией, часть из которой мне неизвестна. Ваши идеи настолько глубоки, что их внедрение в школах – это следующий шаг в математическом образовании. Имеются ли преподаватели в Украине или где-либо, которые начали использовать ваши идеи и вашу научную программу? В наибольшей степени я был бы заинтересован в информации об их преподавательском опыте. Мы очень надеемся, что Вы сможете посетить нашу Конференцию в Сицилии.
Профессор Алан Роджерсон,
Руководитель Международного проекта «Математическое образование 21-го века, Председатель программного комитета Международной конференции «Гуманистическое Возрождение в математическом образовании» (Сицилия, Палермо, 2002)
Автор:
