Часть 2

9. Алгоритмическая теория измерения
10. Матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования
11. «Золотые» матрицы и криптография
12. Троичная зеркально-симметричная арифметика
13. «Золотые» резистивные делители и метрология
14. Древнейшая научная парадигма в современной науке и математике
15. Роль древнейшей научной парадигмы в современном образовании
16. Заключение

Литература

9. Алгоритмическая теория измерения

Алгоритмическая теория измерения является первой математической теорией, в которой автор совершенно неожиданно для себя пришел к «оптимальным алгоритмам измерения», основанным на р-числах Фибоначчи. Собственно с этого научного открытия и началось увлечение автора числами Фибоначчи и золотым сечением. Эта теория достаточно подробно описана в книгах автора [8-10], изданных большими тиражами, и каждый желающий может ознакомиться с этими книгами в технических библиотеках. Значение «алгоритмической теории измерения» для математики состоит в том, что эта теория развивает и расширяет «математическую теорию измерения», которая считается второй (после теории чисел) фундаментальной теорией математики.

10. Матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования

Q-матрица

В последние десятилетия «Теория чисел Фибоначчи» дополнилась новыми математическими результатами. Одним из них является теория матрицы специального типа, названной Q-матрицей [79]. Последняя представляет собой простейшую квадратную матрицу размером 2' 2 следующего вида:

Заметим, что детерминант Q-матрицы равен -1, то есть,

Но какое отношение имеет Q-матрица к числам Фибоначчи? Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно возвести Q-матрицу в n-ю степень. Тогда мы получим [79]:

где F_n-1, F_n, F_n+1 числа Фибоначчи.

Используя (111), легко доказать, что детерминант матрицы (112) задается выражением:

где n – целое число.

С другой стороны, детерминант матрицы (112) можно вычислить непосредственно из матрицы (112). Тогда с учетом (113) можно записать следующее выражение для детерминанта:

Напомним, что тождество (114), задающее связь трех соседних чисел Фибоначчи, было выведено еще в 17-м веке знаменитым астрономом Кассини; поэтому формула (114) называется также «формулой Кассини» [65]. Отсюда вытекает, что Q-матрица выражает одно из наиболее важных свойств чисел Фибоначчи, задаваемое (114), а свойство Q-матрицы, задаваемое (113), можно рассматривать как компактную запись «формулы Кассини»!

Обобщенные матрицы Фибоначчи

Можно использовать идею «фибоначчиевой» Q-матрицы (110) для получения обобщенных матриц Фибоначчи. В работе [48] ведена в рассмотрение квадратная матрица специального типа, которая названа Q_p-матрицей:

где индекс p принимает следующие значения: 0, 1, 2, 3, ….

Заметим, что Q_p-матрица представляет собой квадратную матрицу размером (p+1)' (p+1). Она содержит единичную (p' p)-матрицу, ограниченную последней строкой типа 100...00, и первым столбцом типа 100..01. Для случаев p = 0, 1, 2, 3, 4 Q_p-матрицы имеют следующий вид соответственно:

Q₀ = (1); ; ;

; .

Основным результатом работы [48] является доказательство следующего выражения для Q_p-матрицы, возведенной в степень n:

где р =0, 1, 2, 3, …, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …, а элементами матрицы являются р-числа Фибоначчи, задаваемые рекуррентным соотношением (45) при начальных условиях (46).

В работе [48] доказано также, что детерминант матрицы (116) задается следующим выражением:

где p = 0, 1, 2, 3, …; n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Таким образом, в работе [48] разработана теория квадратных матриц, обладающих уникальным математическим свойством: согласно (117) детерминант любой такой матрицы всегда равен по абсолютной величине 1, а знак единицы зависит от произведения двух целых чисел p' n (р =0, 1, 2, 3, …, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3). Если это произведение является четным, то детерминант матрицы (116) равен +1, в противном случае детерминант равен -1.

Обобщение формулы Кассини

Ясно, что матрица (116), обладающая уникальным математическим свойством (117), представляют фундаментальный интерес для теории матриц и могут быть использованы для расширения «фибоначчиевых» исследований. При этом выражение (117) можно рассматривать как обобщение «формулы Кассини» (113). Например, для случая р=2 обобщенная «формула Кассини» выглядит следующим образом:

Подобно «формуле Кассини» (114), задающей связь между тремя соседними числами Фибоначчи, формула (118) связывает пять соседних 2-числа Фибоначчи F₂(n-3), F₂(n-2), F₂(n-1), F₂(n) и F₂(n+1) для любого заданного числа n (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …).

Подчеркнем еще раз, что обобщенных «формул Кассини», подобных (118) и основанных на (117), теоретически бесконечно, причем их столько же, сколько существует натуральных чисел, поскольку р=1, 2, 3,....

Новая теория кодирования

Матрицы Фибоначчи (116) привели к созданию новой теории кодирования, описанной в книге [14]. Суть метода кодирования, основанного на использовании матриц Фибоначчи (116), состоит в представлении исходного сообщения в виде матрицы М размером (р+1)' (р+1) и ее умножении на кодирующую матрицу типа (116); при этом декодирование состоит в умножении кодовой матрицы Е на декодирующую матрицу .

Исходная матрица М связана с кодовой матрицей Е следующим свойством. Вычислим детерминант исходной матрицы М, равный числу Det M, а затем найдем детерминант кодовой матрицы Det Е. Согласно теории матриц, эти детерминанты связаны соотношением:

Если теперь воспользоваться тождеством (117), то мы получаем следующее тождество, связывающее детерминанты матриц М и Е:

где p = 0, 1, 2, 3, …; n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Тождество (120), связывающее детерминанты матриц М и Е, является «основным контрольным соотношением», что приводит к весьма эффективному способу обнаружения и коррекции ошибок в кодовой матрице Е.

11. «Золотые» матрицы и криптография

«Золотые» матрицы

Представим матрицу (112) в виде двух матриц, задаваемых для четных (n=2k) и нечетных (n=2k+1) значений степени n:

Используя соотношение (29), мы можем записать матрицы (121), (122) в терминах симметричных гиперболических функций Фибоначчи (27):

где k – дискретная переменная, k=0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Если теперь заменить дискретную переменную k в матрицах (123), (124) непрерывной переменной x, то мы придем к двум необычным матрицам, которые являются функциями от переменной x:

Ясно, что матрицы (125), (126) являются обобщением Q-матрицы (112) на непрерывную область. Они имеют ряд необычных математических свойств. Например, для матрица (125) принимает следующую форму:

Невозможно вообразить, что означает «корень квадратный из Q-матрицы», но именно такая «фибоначчивая фантазия» вытекает из выражения (127)!

Для вычисления детерминантов матриц (125), (126) мы можем воспользоваться следующими свойствами симметричных гиперболических функций Фибоначчи, доказанными в [49]:

Если мы теперь вычислим детерминанты матриц (125), (126), то с учетом (128) и (129), мы придем к весьма необычным математическим тождествам для матриц (128), (129), которые справедливы для любого значения непрерывной переменной x:

Вновь обращаясь к «формуле Кассини», задаваемой (114), мы приходим к неожиданному заключению, что необычные формулы (130), (131) являются ни чем иным, как обобщением «формулы Кассини» (114) на непрерывную область!

«Золотая» криптография

Можно предложить следующий метод шифрации-дешифрации, основанный на использовании «золотых» матриц (125), (126).

Здесь M – исходная матрица размером 2' 2, представляющая собой исходное сообщение, подлежащее шифрации; E₁(x), E₂(x) – кодовые матрицы; Q^2x, Q^2x+1 – кодирующие матрицы, представляющие собой «золотые» матрицы (125), (126) соответственно. Мы можем использовать непрерывную переменную x в качестве секретного ключа. Это означает, что в зависимости от значения x существует бесконечное число вариантов преобразования исходной матрицы M в кодовое (зашифрованное) сообщение E(x). Это обстоятельство может быть использовано в криптографии, то есть, рассматриваемый метод шифрации-дешифрации может рассматриваться как новый криптографический метод. Заметим, что элементы кодовой матрицы E(x) для данного случая уже не являются целыми числами. Это означает, что при практической реализации элементы кодовой матрицы E(x) будут задаваться с некоторой погрешностью, и поэтому дешифрация кодовой матрицы также будет осуществляться с некоторой погрешностью. Это замечание ограничивает область применения предлагаемого метода криптографии: он применим для обеспечения криптографической защиты «цифровых сигналов», где наличие незначительной «погрешности» не влияет существенно на качество передачи информационного сообщения. Примерами таких систем могут быть цифровые системы связи непрерывных сигналов (цифровая телефония, цифровое телевидение, цифровые измерительные системы и т.д.).

Вычислим теперь детерминанты кодовых матриц E₁(x), E₂(x):

Используя тождества (130), (131), мы можем записать выражения (132), (133) в следующем виде:

Мы можем рассматривать тождества (134), (135) как основные контрольные соотношения для «золотого» криптографического метода.

Таким образом, криптографический метод, основанный на «золотых» матрицах, позволяет решить одновременно две проблемы, возникающие в информационных системах:

(1) защита сообщения от «хакеров», что достигается с помощью использования переменной x в качестве криптографического ключа;

(2) защита сообщения от «помех» в канале связи, что достигается с использованием «контрольных соотношений» (134), (135). Это дает нам основание высказать предположение, что метод «золотой» криптографии может быть использован для создания супернадежных криптосистем специального назначения.

12. Троичная зеркально-симметричная арифметика

Троичная зеркально-симметричное представление

В 2002 г. известный международный журнал «The Computer Journal», официальный орган Британского компьютерного общества, опубликовал большую статью автора «Brousentsov’s Ternary Principle, Bergman’s Number System and Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic» [48]. Статья вызвала большой интерес западных компьютерных специалистов. И первым ученым, кто откликнулся на эту публикацию, стал выдающийся американский ученый Дональд Кнут, широко известный в мире своими книгами по «искусству программирования». В своем письме к автору он высоко оценил новую компьютерную арифметику, а также сообщил, что он намерен включить ссылку на эту статью в новое издание своей знаменитой книги «Искусство программирования».

Для пояснения сути нового троичного способа представления чисел и новой троичной арифметики рассмотрим последовательность четных степеней золотой пропорции, то есть:

…t ⁶, t ⁴, t ², t ⁰, t ^-2, t ^-4, t ^-6, …,

где t — «золотая пропорция».

Эту последовательность мы будем использовать в качестве весов разрядов для необычного «троичного» представления целых чисел в виде:

где c_i – троичные цифры ` 1, 0, 1; t ²ⁱ – вес i-го разряда позиционного представления (136).

Из анализа выражения (136) вытекает, что основанием данной системы является иррациональное число

Анализ троичных представлений целых чисел, проведенный в [48], показал, что цифровая запись каждого целого числа в системе счисления (136) обладает следующим необычным свойством. Цифровая запись целого числа нулевым разрядом разбивается на две части: левую и правую. При этом левая часть числа является зеркальным отражением правой части числа относительно нулевого разряда! Это неожиданное свойство цифровых изображений целых чисел в системе счисления (136) было названо свойством зеркальной симметрии, а сама система счисления (136) — зеркально-симметричной.

В работе [48] разработана троичная зеркально-симметричная арифметика, то есть правила выполнения арифметических операций над целыми числами, представленными в системе счисления (136). При этом оказалось, что свойство «зеркальной симметрии» является «инвариантом» относительно всех арифметических операций над числами, выполняемыми в зеркально-симметричной системе счисления. А это означает, что найден новый универсальный способ контроля всех арифметических операций в компьютере, который может быть построен на основе зеркально-симметричной системе счисления.

13. «Золотые» резистивные делители и метрология

Возникает вопрос: имеют ли золотые р-пропорции какой-либо физический, а не только математический смысл. В работе [54] показана тесная связь золотых р-пропорций с теорией электрических цепей. В измерительной технике, а также в технике связи широкое распространение получили так называемые резистивные делители, с помощью которых осуществляется деление электрических токов или напряжений в заданном отношении. Ниже приведен пример такого резистивного делителя, состоящего из 5 секций. В общем виде число секций может быть равно n (n=1, 2, 3, …).

«Золотые» резистивные делители

Выберем резисторы в делителе таким образом, чтобы значения их сопротивлений были связаны с золотой р-пропорцией:

где t _р – золотая р-пропорция. Доказано [54], что в этой электрической цепи реализуется соотношение золотой р-пропорции, в частности, коэффициент передачи по напряжению между соседними точками 4-3, 3-2 и т.д. обратно пропорционален золотой р-пропорции t _р. Заметим, что при р=0 значения сопротивлений (138) принимают вид:

и тогда делитель вырождается в классический «двоичный» делитель, получивший широчайшее применение в современной измерительной технике.

А вот если все резисторы в делителе выбрать таким образом, чтобы R1= R2 = R и R3=t R, где t — золотая пропорция, то, к нашему изумлению, в такой простейшей электрической цепи коэффициент передачи по напряжению между соседними точками 4-3, 3-2 и т.д. станет равным величине, обратно пропорциональной квадрату золотой пропорции . Как показано в [48], такой делитель может использоваться для преобразования так называемого троичного зеркально-симметричного кода в электрическое напряжение.

Заметим, что указанные «золотые» резистивные делители являются основой для создания самоконтролирующихся и самокоррректирующихся измерительных устройств и систем – и это направление приложений «Математики Гармонии» стало началом весьма оригинальных инженерных проектов, выполненных в советской науке еще в 80-е годы 20-го столетия [12].

14. Древнейшая научная парадигма в современной науке и математике

«Математическая Гармония» как всеобщее свойство Мироздания

Первый вывод, который мы можем сделать из пифагорейского учения о числовой гармонии Мироздания и его эволюции в последующие эпохи, состоит в следующем. Все исследователи понятия «Математическая Гармония Мироздания», начиная от Пифагора и Платона и заканчивая Лейбницем, Шефтсбери, Гегелем, Лосевым и Флоренским, сходятся в одном:

1. Гармония царит во всем мире, она является упорядочивающим и творческим началом всей природы и космоса.
2. Вся природа и искусство – это целесообразно и гармонично устроенное целое. И в природе и в искусстве отдельные вещи и явления существуют как часть целого, как момент в общей системе красоты и гармонии.
3. «Математическая Гармония» является объективным и всеобщим свойством Мироздания в целом и любой ее части в отдельности. Все структуры природы стремятся к «гармоничному», то есть «оптимальному» (с некоторой точки зрения) состоянию.

Иерархический принцип организации Мироздания

Как известно, природа широко использует «иерархический принцип» при создании своих структур. Согласно Платону, все в Природе создается путем «смешивания» первичных элементов. Что такое смешивание? «Элементы 1-го уровня», например, «элементарные частицы», вступая друг с другом в некоторые комбинаторные соотношения, образуют более сложные «устойчивые» структуры, которые называются «элементами 2-го уровня». Примерами «элементов 2-го уровня» могут быть атомы. «Элементы 2-го уровня» также вступают в комбинаторные соотношения и образуют более сложные «устойчивые» структуры, которые называются «элементами 3-го уровня» и т.д. Их примером могут быть молекулы. Далее таким же путем могут быть образованы более сложные структуры природы: кристаллы, растения, живые организмы, звезды, галактики и т.д. Таким образом, каждый «элемент n-го уровня» есть некоторая «устойчивая» комбинация элементов предыдущего уровня. Налицо «иерархический принцип» построения Мироздания.

В любом научном анализе бесконечное количество раз употребляются такие термины как «симметрия», «равновесие», «уравновешенность», «устойчивость», «баланс», «полнота», «целостность», «единство», «простота», «сложность» и т.д. И мы не всегда отдаем отчет в том, что все эти категории представляют собой модификацию более общей категории – гармонии. Учение о гармонии основывается на следующих важнейших положениях:

1. Для того, чтобы иерархическая система была устойчивой, каждый ее элемент на любом уровне ее организации должен быть «гармоничным» — это главное положение научной парадигмы, восходящей к Пифагору и Платону.

2. Не всякое сочетание элементов создает «гармоничную», то есть, «устойчивую» структуру. Для этого каждый элемент должен быть образован по «законам гармонии». Удивительное постоянство, с каким проявляются числа Фибоначчи и золотое сечение на всех уровнях организации природы (генетический код, фуллерены, квазикристаллы, филлотаксисные структуры, морфология человека, форма Земли, «золотая» спираль Галактики и др.) дают основания высказать гипотезу, что «Законы Гармонии» одни те же на всех уровнях организации природы.

3. «Математическая теория гармонии» или «Математика Гармония», направленная на поиск «Математических Законов Гармонии», носит универсальный характер, то есть, приложима ко всем структурам природы на любых уровнях ее организации.

Важнейшие научные открытия 20-го века, связанные с Золотым Сечением

Квазикристаллы Дана Шехтмана. 12 ноября 1984 г. в небольшой статье, опубликованной в авторитетном журнале «Physical Review Letters» израильским физиком Даном Шехтманом, было предъявлено экспериментальное доказательство существования металлического сплава с исключительными свойствами. При исследовании методами электронной дифракции этот сплав проявил все признаки кристалла. Его дифракционная картина составлена из ярких и регулярно расположенных точек, совсем как у кристалла. Однако эта картина характеризуется наличием «икосаэдрической» или «пентангональной» симметрии, строго запрещенной в кристалле из геометрических соображений. Такие необычные сплавы были названы квазикристаллами. Менее чем за год были открыты многие другие сплавы подобного типа. Их было так много, что квазикристаллическое состояние оказалось намного более распространенным, чем это можно было бы представить.

Понятие квазикристалла представляет фундаментальный интерес, потому что оно обобщает и завершает определение кристалла. Теория, основанная на этом понятии, заменяет извечную идею о «структурной единице, повторяемой в пространстве строго периодическим образом», ключевым понятием дальнего порядка. Как подчеркивается в статье «Квазикристаллы» известного физика Д Гратиа [89], «это понятие привело к расширению кристаллографии, вновь открытые богатства которой мы только начинаем изучать. Его значение в мире минералов можно поставить в один ряд с добавлением понятия иррациональных чисел к рациональным в математике».

Фуллерены. Термином «фуллерены» называют замкнутые молекулы типа С₆₀, С₇₀, С₇₆, С₈₄, в которых все атомы углерода находятся на сферической или сфероидальной поверхности. В этих молекулах атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников или пятиугольников, которые покрывают поверхность сферы или сфероида. Центральное место среди фуллеренов занимает молекула С₆₀, которая характеризуется наибольшей симметрией и как следствие наибольшей стабильностью. В этой молекуле, напоминающей покрышку футбольного мяча и имеющую структуру правильного Архимедового усеченного икосаэдра, атомы углерода располагаются на сферической поверхности в вершинах 20 правильных шестиугольников и 12 правильных пятиугольников, так что каждый шестиугольник граничит с тремя шестиугольниками и тремя пятиугольниками, а каждый пятиугольник граничит с шестиугольниками.

«Фуллерены» по существу представляют собой «рукотворные» структуры, вытекающие из фундаментальных физических исследований. Впервые они были синтезированы в 1985 учеными Г. Крото и Р. Смолли (получившими в 1996 г. Нобелевскую премию за это открытие). Но в 1992 их неожиданно обнаружили в породах докембрийского периода, то есть фуллерены оказались не только «рукотворными», но природными образованиями. Российские ученые А.В. Елецкий и Б.М. Смирнов в своей статье «Фуллерены», опубликованной в журнале «Успехи физических наук» (1993, том 163, №2), отмечают, что «фуллерены, существование которых было установлено в середине 80-х, а эффективная технология выделения которых была разработана в 1990 г., в настоящее время стали предметом интенсивных исследований десятков научных групп. За результатами этих исследований пристально наблюдают прикладные фирмы. Поскольку эта модификация углерода преподнесла ученым целый ряд сюрпризов, было бы неразумным обсуждать прогнозы и возможные последствия изучения фуллеренов в ближайшее десятилетие, но следует быть готовым к новым неожиданностям».

Фибоначчиевые резонансы генетического кода. А теперь расскажем об одном научном открытии, устанавливающим связь генетического кода с числами Фибоначчи и золотым сечением. В 1990 г. французский исследователь Jean-Claude Perez, работавший в тот период научным сотрудником фирмы IBM, сделал весьма неожиданное открытие в области генетического кодирования. Он открыл математический закон, управляющий самоорганизацией оснований (нуклеотидов) Т, С, А, G внутри ДНК. Он обнаружил, что последовательные множества нуклеотидов ДНК организованы в структуры дальнего порядка, называемые РЕЗОНАНСАМИ. Резонанс представляет собой особую пропорцию, обеспечивающую разделение ДНК в соответствии с числами Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …).

Ключевая идея открытия Jean-Claude Perez, названного ДНК SUPRA-кодом, состоит в следующем. Рассмотрим любой отрезок генетического кода, состоящий из базисов типа Т, С, А, G, и пусть длина этого отрезка равна числу Фибоначчи, например, 144. Если число оснований типа Т в рассматриваемом отрезке ДНК равно 55 (число Фибоначчи) и суммарное число оснований типа А, С и G равно 89 (число Фибоначчи), то рассматриваемый отрезок генетического кода образует резонанс, то есть, резонанс есть пропорция между тремя соседними числами Фибоначчи (55-89-144). Открытие состоит в том, что каждая ДНК образует множество резонансов рассмотренного вида, то есть, как правило, отрезки генетического кода длиной, равной числу Фибоначчи F_n, разбиваются золотым сечением на множество оснований типа Т (число которых в рассматриваемом отрезке генетического кода равно F_n-2) и суммарное множество остальных оснований (число которых равно F_n-1). Если произвести систематическое исследование всех возможных «фибоначчиевых» отрезков генетического кода, тогда получим некоторое множество резонансов, называемое SUPRA-кодом ДНК.

Начиная с 1990 г., указанная закономерность была многократно проверена и подтверждена многими выдающимися биологами. Несомненно, что рассматриваемое открытие относится к разряду «стратегических» открытий в области ДНК, определяющих развитие генной инженерии. По мнению автора открытия Jean-Clode Perez SUPRA-код ДНК является универсальным био-математическим законом, который указывает на высочайший уровень самоорганизации нуклеотидов в ДНК согласно принципу «Золотого Сечения».

Удивительное открытие Jean-Clode Perez позволяет сделать интересный вывод, касающийся аналогии между музыкой, поэзией, рыночными процессами («волны Эллиотта») и генетическим кодом. Несомненным является тот факт, что «гармония» этюдов Шопена, стихов Пушкина или «волн Элиотта», в которых «Золотое Сечение» наблюдается многократно, сходна «гармонии» генетического кода, в котором «фибоначчиевые резонансы», лежащие в основе ДНК SUPRA-кода, многократно наблюдаются как во всей молекуле ДНК, так и в каждой ее части.

Закон структурной гармонии систем. Одним их крупнейших современных научных открытий не только в области «Теории Золотого Сечения», но и науки вообще, является «Закон структурной гармонии систем», сформулированный в конце 20-го века белорусским философом Эдуардом Сороко [75].Главная идея Сороко состоит в том, чтобы рассмотреть реальные системы с «диалектической точки зрения». Как известно, всякий объект природы может быть представлен как диалектическое единство двух противоположных сторон A и B. Это диалектическая связь может быть выражена в следующем виде:

A + B = U (univesum)

Указанное равенство является наиболее общей формой выражения так называемого закона сохранения. В процессе самоорганизации система переходит в некоторое гармоничное состояние, когда между противоположными частями A и B устанавливается некоторое количественное отношение, выражаемое числом, равным «обобщенной золотой пропорции». Суть этого закона в формулировке Сороко состоит в следующем: «Обобщенные золотые сечения суть инварианты, на основе и посредством которых в процессе самоорганизации естественные системы обретают гармоничное строение, стационарный режим существования, структурно-функциональную... устойчивость».

Сороко приводит в своей книге «Структурная гармония систем» [75] много интересных примеров из различных областей науки, демонстрирующих действие своего закона. Например, рассматривая такой «естественный» объект как «сухой воздух», который является основой жизни на земле, он доказывает, приведенная энтропия «сухого воздуха» равна 0,683, что с высокой точностью равно обратной величине золотой 2-пропорции 1,465. Это означает, что в процессе самоорганизации «сухой воздух» приобрел оптимальную, то есть «гармоничную» структуру. Этот пример является весьма показательным в том отношении, что «теория Сороко» может быть уже сейчас использована для контроля за состоянием биосферы, в частности, воздушного и водного бассейна. Ясно, что практическое использование «закона структурной гармонии систем» может принести уже сейчас существенный выигрыш при решении многих технологических, экономических, экологических и других задач, в частности, совершенствовать технологию изготовления структурно-сложных продуктов, контролировать биосферу и т.д.

В чем принципиальная особенность «Закона Сороко»? Начиная с Пифагора, ученые связывали понятие гармонии с единственной золотой пропорцией . «Закон Сороко» утверждает, что «гармоничное состояние» системы, соответствующее классической золотой пропорции, не является единственным и что для одной и той же системы может существовать бесконечное количество «гармоничных» состояний, соответствующих «золотым р-пропорциям t _р.

Но самое главное, что «теория Сороко» полностью согласуется с основными математическими результатами «Математической теории гармонии», согласно которой существует бесконечное число «гармонических пропорций», в соответствии с которыми Природа осуществляет конструирование своих объектов.

Математическая теория гармонии

«Математическая теория гармонии» представляет собой математическую дисциплину, которая отвлекается от качественной свойств эстетической гармонии, присущей произведениям искусства, и исследует «гармонию» с количественной точки зрения. Основой «математической теории гармонии» является комбинаторный анализ, в частности, треугольник Паскаля как главный математический объект комбинаторного анализа. Именно из треугольника Паскаля вытекают основные понятия «математической теории гармонии» такие как р-числа Фибоначчи, включающие числа Фибоначчи в качестве частного случая (р=1), р-числа Люка, включающие числа Люка в качестве частного случая (р=1), золотые р-пропорции, включающие классическую золотую пропорцию в качестве частного случая (р=1), «золотые» алгебраические уравнения, включающие классическое уравнение золотой пропорции в качестве частного случая (р=1).

В работе [54] представлена следующая иерархия математических понятий и теорий, образующих в совокупности «Математику Гармонии».

Биномиальная теорема, биномиальные коэффициенты,
треугольник Паскаля
→ Числа Фибоначчи, Золотое Сечение
→ Числа Шпинадель-Татаренко
→ Р-числа Фибоначчи и Золотые р-сечения
→ Обобщенный принцип Золотого Сечения
→ «Золотые» алгебраические уравнения
→ Формулы Бине и гиперболические функции Фибоначчи и Люка
→ Теория формул Бине для р-чисел Фибоначчи и р-чисел Люка
→ Теория матриц Фибоначчи, основанная на р-числах Фибоначчи
→ Теория «золотых» матриц, основанная на гиперболических функциях Фибоначчи
→ Алгоритмическая теория измерения
→ Р-коды Фибоначчи и коды Золотой р-пропорции
→ Новая теория действительных чисел
→ Новая компьютерная арифметика и компьютеры Фибоначчи
→ Новая теория кодирования и криптографии, основанная на матрицах Фибоначчи и «золотых» матрицах

«Золотые» проекты

Из приведенной выше иерархии вытекает, что Математика Гармонии, несомненно, является новой междисциплинарной теорией современной науки, которая может стать источником следующих «золотых» проектов современной науки и культуры:

1. Теория вероятностей. Невозможно переоценить методологическое значение глубокой математической связи обобщенных чисел Фибоначчи и «Обобщенного Принципа Золотого Сечения» с треугольником Паскаля и биномиальными коэффициентами. Ясно, что эта связь может стать началом переосмысливания многих разделов математики и теоретической физики, в которых комбинаторные соотношения играют определяющую роль, в частности, теории вероятностей и статистических законов.
2. Теория чисел. Как упоминалось выше, новое «конструктивное» определение действительного числа, задаваемое (96), имеет «стратегическое» значение для развития теории чисел. Выражение (96) задает бесконечное число «конструктивных» определений действительного числа, основанных на понятии золотой p-пропорции. И каждое из определений (96), соответствующих различным р (р=0, 1, 2, 3,....), «генерирует» свою оригинальную теорию действительных чисел. Z-свойство натуральных чисел является примером новых теоретико-числовых результатов, которые следует ожидать из такого подхода.
3. Теория измерения. Как известно, теория измерения, основанная на аксиомах Евдокса-Архимеда и Кантора, является одной из фундаментальных теорий математики. В этой связи алгоритмическая теория измерения, изложенная в работах автора [8-10] представляет фундаментальный интерес для развития математики.
4. Теория систем счисления. Созданные в рамках Математики Гармонии системы счисления с иррациональными основаниями или коды золотой р-пропорции являются принципиально новым классом систем счисления, переворачивающим наши представления о теории систем счисления, которая является одной из наиболее древних математических теорий.
5. Теория элементарных функций. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка являются новым классом «элементарных функций» и имеют «стратегическое» значение для развития современной математики и теоретической физики. Можно ожидать появление следующих математических теорий «космологического» характера из этого подхода: (1) «Золотая» геометрия Лобачевского; (2) «Золотая» геометрия Минковского как «золотая» интерпретация специальной теории относительности Эйнштейна.
6. Теория чисел Фибоначчи. Математика Гармонии создает новые стимулы для развития «теории чисел Фибоначчи». Прежде всего, понятия р-чисел Фибоначчи и р-чисел Люка значительно расширяют класс рекуррентных числовых рядов. С другой стороны, гиперболические функции Фибоначчи и Люка превращают теорию чисел Фибоначчи в «непрерывную» теорию, что позволят применить здесь математический аппарат «непрерывной» математики, в частности, дифференцирование и интегрирование. Наконец, новая теория формул Бине для р-чисел Фибоначчи и р-чисел Люка значительно расширяют направление «фибоначчиевых» исследований.
7. Теория матриц. Матрицы Фибоначчи (116) и «золотые» матрицы, задаваемые (125), (126), обладают уникальными математическими свойствами. Ясно, что изучение нового класса квадратных матриц («матриц с единичным детерминантом») и поиск их приложений в современной науке может стать интересным направлением в теории матриц.
8. Физика, кристаллография, астрономия. Анализ литературы свидетельствует о повышенном интересе современной теоретической физики, кристаллографии и теоретической астрономии к золотому сечению [89-97]. Работы Шехтмана, Бутусова, Mauldin и William, El Naschie, Владимирова и других физиков показывают, что невозможно вообразить дальнейшее развитие теоретической физики и космологических исследований без Золотого Сечения. В этой связи особый интерес представляет статья проф. Ель Нашие [95], в которой показано, что все основные физические константы могут быть выражены через Золотую Пропорцию. Известный российский физик-теоретик проф. Владимиров Ю.С. заканчивает свою книгу «Метафизика» [97] следующими примечательными словами: «Таким образом, можно утверждать, что в теории слабых взаимодействий возникает соотношение Золотого Сечения, которое играет важную роль в различных сферах Науки и Искусства».
9. Ботаника. Новая геометрическая теория филлотаксиса, изложенная в книге доктора искусствоведения, профессора О.Я. Боднара «Золотое Сечение и неевклидова геометрия в Природе и Искусстве» [81], является блестящим подтверждением эффективности приложения гиперболических функций Фибоначчи и Люка для моделирования ботанического явления филлотаксиса. В этой книге Боднар подтвердил гипотезу В.И. Вернадского о неевклидовом характере геометрии живой природы.
10. Биология. Деление клеток является одной из актуальных проблем биологии. В ряде совремннных работ доказано, что деление клеток является «асимметричным» и основано на p-числах Фибоначчи. В этой связи фундаментальный интерес представляет изложенный [54] «Принцип асимметрии живой природы», основанный на p-числах Фибоначчи. Этот результат может стать началом новой математической теории деления биологических клеток и развития биологических популяций.
11. Медицина. Российский биолог Виктор Цветков в своей книге «Сердце, Золотое Сечение и Симметрия» (1997) показал, что сердечная деятельность млекопитающихся подчиняется закону Золотого Сечения. В этой связи необходимо привлечь внимание к активизации медико-биологических исследований в современной науке. В работах докторов медицинских наук Субботы А.Г. (Санкт-Петербург), Шапаренко П.Ф. и Гуминского Ю.И. (Винница) выполнен широкий комплекс исследований по приложению обобщенных золотых сечений в морфологии человека.
12. Компьютеры. «Арифметика Фибоначчи» и «золотая» арифметика, изложенные в многочисленных публикациях автора, в частности, книге «Коды Золотой Пропорции» [10] и статьях [21, 23, 25, 28, 29, 33, 44, 48], могут стать началом новых компьютерных проектов (помехоустойчивый процессор Фибоначчи, троичный самоконтролирующийся зеркально-симметричный процессор и т.д.). 65 зарубежных патентов, выданных патентными ведомствами США, Японии, Англии, Германии, Франции, Канады и других стран, являются юридическими документами, подтверждающими приоритет советской науки в этой важной компьютерной области.
13. Измерительные системы. Новая теория измерения, цифровой метрологии и «золотых» резистивных делителей, изложенные в работах автора [8, 27, 30, 54], является теоретической основой для создания «золотых» измерительных систем и устройств. Эффективность такого подхода подтверждена рядом инженерных разработок, выполненных под руководством автора в Винницком политехническом институте [12]. Разработанный еще в 80-е годы самокорректирующийся 18-разрядный АЦП для преобразования звуковых сигналов на тот период являлся одной из лучших разработок в этой области не только в СССР, но и за рубежом.
14. Системы связи. Выше показано, что матрицы Фибоначчи и «золотые» матрицы являются математической основой новой теории кодирования [14, 41, 60], которая может эффективно использоваться для обнаружения и коррекции ошибок и криптографической защиты цифровых сигналов. Следует отметить, что в последние годы значительные результаты в применении золотого сечения и чисел Фибоначчи в теории систем связи получены проф. Н.Ф. Семенюта (Гомель) и полковником С.А. Ясинским (Санкт-Петербург), автором книги «Прикладная «золотая» математика и ее приложения в электросвязи» (2004).
15. Философия. Закон структурной гармонии систем, сформулированный белорусским философом Э.М. Сорокой в его книге «Структурная гармония систем» [75], можно рассматривать как одно из значительных достижений современной философии. По существу, «Закон Сороки» является блестящим подтверждением эффективности приложения «Обобщенного Принципа Золотого Сечения» к теории самоорганизующихся систем
16. Психология. Густав Фехнер (1801-1887) был одним из тех немногочисленных немецких ученых, чьи исследования, выполненные в XIX в., заложили фундамент современной экспериментальной психологии. Знаменитые «Опыты Фехнера» были направлены на выявление у взрослых людей чувства прекрасного, гармонии. Всем участникам опыта (228 мужчин и 119 женщин) предлагалось оценить эстетические качества десяти белых прямоугольников с отношением сторон от 1:1 (квадрат) до 2:5. Опыты оказались чрезвычайно благоприятными для «золотого» прямоугольника. В современной науке идеи Фехнера развивает американский психолог Владимир Лефевр. Теория Лефевра весьма оригинально объясняет нам появление Золотого Сечения в «задаче выбора», когда субъект автоматически, то есть без участия сознания, всегда делает свой выбор в соответствии с принципом Золотого Сечения! Этот парадоксальный вывод может иметь весьма неожиданные приложения к так называемым «бихевиористским», то есть, «поведенческим» наукам. Одной из таких теорий является «Теория волн Эллиотта», активно развиваемая в американской науке.
17. Триалектика. Современное стремление к синтезу, к целостности знаний привело к появлению интереса к идее тринитарности или триалектики [98], корни которой уходят далеко вглубь тысячелетий. Архетип триединства, проявляясь в разных формах, становится объединяющим ядром новой парадигмы. В многочисленных работах российского философа П.Я. Сергиенко, с которыми можно познакомиться на сайте «Академия Тринтаризма» (Институт Золотого Сечения-Философия Гармонии http://www.trinitas.ru/rus/002/a0232010.htm), убедительно показана глубокая связь триалектики с Золотым Сечением. Развитие этой идеи может иметь «стратегическое» значение для развитии современной науки.
18. Технология структурно сложных продуктов. «Закон структурной гармонии систем», сформулированный белорусским философом Эдуардом Сороко [75], имеет прямое отношение к Технологии, в частности к технологии производства структурно-сложных продуктов. Поскольку большинство веществ, используемых в быту и производстве, представляют собой структурно сложные составы, смеси, соединения простых компонентов, то «закон структурной гармонии систем» может оказать огромное «оптимизирующее» воздействие на развитие этой области технологии (производство металлических сплавов, пищевая промышленность, парфюмерия, виноделие, производство табачных изделий, фармацевтика и др.).
19. Экономика и системный анализ. В работах многих современных авторов, в частности, в книге А. С. Харитонова [99], предприняты попытки системного единства природы, человека и общества с использованием «Принципа Золотого Сечения». Весьма характерной в этом отношении является статья Забродоцкого Ю.Н. «Теория наступления и контр-наступления в финансово-экономической войне – фондирование и контр-фондирование» [100]. Обсуждая фундаментальные основы фондо-рыночных механизмов хозяйствования, Забродский подчеркивает: «Только вопрос жизни и смерти здесь решается путем обеспечения конкурентоспособности и жизнеспособности, в том числе за счет тех, у кого эта наука хуже. Именно поэтому находки и открытия этой науки стараются сохранить в тайне. Главные из этих тайн находятся в области энергоинформационных обменов в Природе и обществе. Вот одна из этих тайн: Произведение двух иррациональностей в виде Ф' ф = 1= Фⁿф^-n= 1ⁿ.(Ф= 1,618, ф=0, 618 – Золотое Сечение – А.С.). Иначе говоря, масштаб системы не имеет значения. Более того, иррациональное так относится к рациональному, как рациональное к иррациональному! Верно и обратное. Это — Закон Единого». Таким образом, одна из тщательно сохраняемых тайн фондо-рыночных механизмов хозяйствования – это «Закон Золотого Сечения»!
20. Музей Гармонии и Золотого Сечения. Проект такого Музея в 2001 г. выставлен на Интернете [56] (авторы Алексей Стахов и Анна Слученкова). Музей Гармонии и Золотого Сечения является уникальным научным, историческим, природным и художественным музеем, которому нет аналогов в мировой культуре. Музей представляет собой коллекцию всех созданий природы, науки и искусства, основанных на Золотом Сечении.
21. Наука о Гармонии Систем. Математика Гармонии является математической основой для развития Науки о Гармонии Систем, которая может стать главной интегрирующей наукой 21-го века, который, как известно, является «веком Гармонии». В этом направлении следует отметить упомянутый выше цикл фундаментальных исследований, выполненных в последние годы российским философом П.Я. Сергиенко, опубликованных на сайте «Академия Тринитаризма».

15. Роль древнейшей научной парадигмы в современном образовании

Учение о гармонии — в образование

Проанализируем основные положения статьи проф. Боднара «Учение о гармонии – в образование» [7]. Боднар обращает внимание на резкое изменение научно-технической ситуации в начале 21-го века по сравнению с научно-технической ситуацией в начале 20-го века: «Оптимизм доминировал в общем эмоциональном настроении науки начала ХХ столетия, лидерами которой хорошо осознавалась «взрывная мощь» выдвигаемых ими идей и яркие перспективы научно-технического обеспечения общества.... Но сто лет спустя положение дел резко изменилось. На смену романтичности и оптимизму пришли тревога и беспокойство. На рубеже третьего тысячелетия наука столкнулась с проблемами такого рода и масштаба, предвидеть которые в начале ХХ века не удалось бы, видимо, даже в случае специальной мобилизации научного внимания. Научно-технический прогресс привел к противоречиям, поставившим под сомнение сам смысл подобного прогресса, который с некоторых пор стал постепенно оборачиваться против движущих его сил и среды его протекания – против природы и общества».

Каковы реальные возможности решения этой проблемы? В принципе, концептуальных предложений, направленных на преодоление внутреннего кризиса науки, вызванного ее длительной ориентацией на задачи НТП, выдвигается немало. Среди наиболее известных, например, идея т.н. экологизации науки, предполагающая возможность изменения общего содержательного развития науки за счет перевода ее главного вектора на проблемы экологии. Следующей является идея, ориентирующая внимания ученых на задачу интеграции знания. Близка к последней идея гуманизации научного знания, состоящая в намерении увеличить удельный вес гуманитарных наук в общей структуре знаний.

Главная идея статьи Боднара состоит в привлечении внимания к возрождению в системе науки и образования «идеологической доктрины, которая уже доказала свое благотворное влияние на культурное развитие общества. Это – идеология гармонии, доминировавшая в истории Древней Греции и эпохи Ренессанса. В самом деле, философия гармонии, культ идеалов красоты, преобладание интереса к искусству в наибольшей мере характерны именно для этих периодов развития общества, которые в наилучшую сторону выделяются из панорамы истории. Этот факт общеизвестен.

... Тезис о целостности многосложного мира и взаимосвязанности процесса его всестороннего познания сегодня актуален как никогда ранее. Современная наука, страдающая от разброса направлений и их непрерывного разветвления, узкой специализации и расстройства внутренних взаимосвязей, крайне нуждается в упорядочивающих идеях и стимулировании синтезирующих процессов. На такую роль в наиболее широком предназначении, бесспорно, претендует идея всеобщей гармонии мира, провозглашенная древними греками. Она, конечно же, актуальна и чрезвычайно полезна именно сегодня, несмотря на идеалистичность и давнеисторическое происхождение.

... Идея гармонии, заимствованная из исторического прошлого, должна быть «раскручена» в современных проблемных условиях с учётом нового уровня научной информации, а также всех других обстоятельств, которые отличают состояние и условия функционирования современной науки от древнегреческого периода. С уверенностью можно говорить также, что главный путь идеологии гармонии в массовое сознание должен пролегать через систему образования. В связи с этим возникает вопрос информационно-содержательного и методологического построения теории гармонии как образовательной дисциплины, от качества которого зависит её реальная эффективность».

Каким же должно быть содержание «Теории Гармонии» как образовательной дисциплины? Для ответа на этот вопрос проф. Боднар предлагает вспомнить «опыт древнегреческой истории, привлекающий внимание ещё одним непревзойдённым результатом – идеей золотого сечения. Эта идея с самого начала сознательно связывается с понятием гармонии. В толковании древних греков эти два понятия, две идеи, в сущности, идентичны. Золотое сечение, представляемое, как результат деления отрезка в т.н. среднем и крайнем отношении, рассматривается ими как образная иллюстрация гармонии, как геометрическая интерпретация взаимосвязи целого и его частей.

Факт этой связи действительно очень важен, и не случайно древние греки придали ему столь глубокий смысл. Сегодня, спустя две с половиной тысячи лет, хорошо известно, что золотое число Ф лежит в фундаменте целого математического направления, важность которого подтверждена, в частности, результатами изучения и моделирования формообразования в живой природе. Золотое сечение обрело статус характерной геометрической закономерности природы.

Но не только природы. Об уникальных свойствах пропорции золотого сечения свидетельствует исторический опыт искусства и архитектуры. Золотая, иногда называемая божественной, пропорция, признана наиболее совершенной эстетической закономерностью, играющей особую роль в методике гармонизации художественных форм».

Далее Боднар пишет: «Современные учёные обращают внимание на то, что наука постепенно теряет критерии своей истинности, в частности, простоту, что она, тем самым, отрывается от человеческой сути и становится понятной только самим учёным. Проблема в целом усугубляется ростом взаимонепонимания внутри науки, вызывающим «эффект Вавилонской башни» и ставящим науку перед угрозой полной декоординации.

На этом фоне чрезвычайную ценность представляют такие качества идеи золотого сечения, как простота и воспринимаемость, универсальность и всесторонняя привлекательность, т.е. качества, которые гарантируют ей широкую доступность и высокие синтезирующие возможности. История, вновь-таки, убедительно это подтверждает. В этом контексте ещё раз укажем на вездесущесть золотого сечения, проявляющегося в наиразнообразнейших явлениях природы и творчества, в науке и технике. Золотое сечение, как никакая другая идея (число, явление) интриговала и продолжает интриговать исследователей из самых разных областей знаний – математики и физики, биологии, философии, архитектуры, музыки, изобразительного искусства. Среди учёных, в разное время занимавшихся изучением золотого сечения, имена Леонардо да Винчи, Кеплера, Гете, Ле Корбюзье, Вейля, что весьма красноречиво свидетельствует о нем как многосторонней, междисциплинарной проблеме.

Тема золотого сечения всегда объединяла, позволяла находить общий язык и достигать взаимопонимания исследователям разной отраслевой принадлежности и профессионального профиля, но преследующих цель познания сущности гармонии».

... Подчеркнём, теория золотого сечения ровесница науки. Перерывы в истории развития не помешали ей войти в число наиболее устойчивых теорий, не потерявших идейных целей в самых неблагоприятных условиях. Теорию золотого сечения, благодаря неизменной ориентированности на идеалы красоты и совершенства, на связь с искусством, вполне можно отнести к идеологиям социального значения. Тем самым мы указываем на ещё одну важную грань этой теории, делающую её актуальной в условиях преобладания технократических ценностей».

Новые курсы по Гармонии и Золотому Сечению в современном образовании

Очевидно, что «Курс Гармонии и Золотого Сечения» должен быть предложен системе образования для школ всех ступеней, как это делают с физикой или математикой, — дифференцируя его по уровням сложности. На каждом уровне концентрически разворачивается глубина изложения, математизация, вводится новый аппарат и новые области приложений. Рассмотрим, как это положение могло бы быть реализовано в системе современного образования, начиная со средней школы и заканчивая университетским образованием.

Курс «Начала гармонии». Этот курс рекомендуется ввести в качестве обязательной дисциплины, изучаемой в средней школе. Цель курса – это выработка у учащихся нового восприятия Природы и Искусства, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения. При составлении программы этого курса и его изложении должен быть использован главный принцип изучения нового материала в средней школе: курс должен возбудить интерес школьника, а это может удасться только в том случае, когда курс будет излагаться в наглядной, доступной форме. Предмет курса открывает широкие возможности для реализации этого принципа. Уровень математики, используемый в этом курсе, должен быть предельно элементарным. Достаточно ознакомить учащихся с тремя математическими открытиями античной и средневековой науки:

1. Золотое сечение и его замечательные алгебраические и геометрические свойства (пентграмма, золотой прямоугольник и золотые треугольники)
2. Ряды Фибоначчи (включая числа Фибоначчи и числа Люка) и их связь с золотым сечением.
3. Платоновые тела и их связь с золотым сечением (додекаэдр и икосаэдр)

Проведем анализ математического аппарата, который предлагается к изучению в средней школе. Нет никаких сомнений, что замечательные математические свойства золотой пропорции, задаваемые (15)-(19), будут с интересом восприняты учащимися. Но наибольший интерес вызовут геометрические свойства золотого сечения. Рассмотрим некоторые из них.

Золотой прямоугольник. Мы начнем наше путешествие по геометрическим свойствам Золотого Сечения с золотого прямоугольника, который имеет следующее геометрическое определение. «Золотым» называется прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции, то есть

АВ: ВС = t = .

Если в «золотом прямоугольнике» ABCD вычленить квадрат AEFD, то оставшаяся часть EBCF, оказывается, является новым «золотым прямоугольником», который снова может быть разделен на квадрат GHCF и меньший «золотой прямоугольник» EBHG. Повторяя многократно эту процедуру, мы получим бесконечную последовательность квадратов и золотых прямоугольников, которые в пределе сходятся к точке O. Заметим, что такое бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур, то есть квадрата и золотого прямоугольника, вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство ритма и гармонии. Считается, что именно это обстоятельство является причиной того, что многие предметы прямоугольной формы, с которыми человек имеет дело (спичечные коробки, зажигалки, книги, чемоданы), зачастую имеют форму золотого прямоугольника. Например, мы широко пользуемся кредитными карточками в нашей повседневной жизни, но не обращаем внимание на то, что во многих случаях кредитные карточки имеют форму золотого прямоугольника.

Золотой прямоугольник и кредитная карта

Пентаграмма. Но наибольший интерес у школьников вызовет совершенная геометрическая фигура, получившая название пентаграммы или пентакла.

Пентаграмма и «Пентагон»

Если в пентаграмме провести все диагонали, то в результате мы получим хорошо известную нам пятиугольную звезду. Доказано, что точки пересечения диагоналей в пентаграмме всегда являются точками золотого сечения диагоналей. При этом эти точки образуют новую пентаграмму FGHKL. В новой пентаграмме можно провести диагонали, пересечение которых образуют еще одну пентаграмму, и это процесс может быть продолжен до бесконечности. Таким образом, пентаграмма ABCDE как бы состоит из бесконечного числа пентаграмм, которые каждый раз образуются точками пересечения диагоналей. Эта бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создает чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом. Пентаграмма вызывала особое восхищение у пифагорейцев и считалась их главным опознавательным знаком. Здание военного ведомства США имеет форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольник.

Изучение пентаграммы должно сопровождаться примерами «пентагональной» симметрии в Природе (морские звезды, морские ежи, цветы). Пятилепестковыми являются цветы кувшинки, шиповника, боярышника, гвоздики, груши, черемухи, яблони, земляники и многих других цветков. Ниже приведены примеры живых структур, основанных на «пентагональной» симметрии.

Примеры пентагональной симметрии в природе:
(а) китайская роза; (б) яблоко в разрезе; (в) морская звезда; (г) кактус

Прямо на уроке учитель может провести эксперимент, который сразу же заинтригует учащихся. Для этого достаточно острым ножом разрезать яблоко попрек и продемонстрировать великолепную пентаграмму в результате такого сечения.

Ряды Фибоначчи. Изложение этого материала необходимо начинать с «задачи о размножении кроликов», придуманной итальянским математиком Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи. Принцип построения этого ряда настолько прост, что он не вызовет никаких затруднений у школьников. Главным свойством этого ряда является его связь с золотой пропорцией, задаваемая (4). Объясняя свойство (4), уместно рассказать о гениальном астрономе Иоганне Кеплере, который это свойство вывел. При изучении математических свойств чисел Фибоначчи, мы не можем пройти мимо «Формулы Кассини» (6). При этом уместно рассказать и о самом Кассини – выдающемся астрономе 17-го века, именем которого названы многие астрономические объекты: «Кратер Кассини» на Луне, «Кратер Кассини» на Марсе, «Щель Кассини» — промежуток в кольцах Сатурна, «Законы Кассини» — три открытые Кассини законы движения Луны. Именем Кассини-Гюйгенса назван также космический аппарат, созданный совместно НАСА, Европейским космическим агентством и Итальянским космическим агентством, целью которого является изучение планеты Сатурн и её колец и спутников.

Изучение чисел Фибоначчи должно сопровождаться рассказом о «законе филллотаксиса», который лежит в основе формообразования многих ботанических объектов. Оказывается, что числа Фибоначчи в буквальном смысле лежат на поверхности многих ботанических объектов. Если взять, например, сосновую шишку и подсчитать число левых и правых спиралей на ее поверхности, то мы обнаружим их отношение равно одной из дробей последовательности (4), которая изучалась Кеплером. Последовательность (4) и задает важный числовой закон Природы – «Закон филлотаксиса», в соответствии с которым осуществляется формообразование большинства живых структур Природы.

Филлотаксисные структуры: (а) сосновая шишка; (б) головка подсолнечника;
(в) ананас (г) головка цветной капусты

Платоновы тела и тайна Египетского календаря. Рассказ о правильных и полуправильных многогранниках, которыми увлекались Пифагор, Платон, Архимед, Евклид и многие другие гениальные ученые и мыслители может стать одной из наиболее увлекательных тем курса. Главное внимание должно быть уделено тем многогранникам, которые получили широкое использование в Природе и Искусстве, то есть додекаэдру и икосаэдру, а также усеченному икосаэдру.

В этой связи уместно рассказать о новой гипотезе происхождения Египетского календаря, выдвинутой автором настоящей статьи. Как известно, наш календарь происходит от Египетского календаря, созданном в 4-м тысячелетии до н.э. Первоначально египетский календарный год состоял из 360 дней. Год делился на 12 месяцев ровно по 30 дней в каждом. Однако позже было обнаружено, что такая длительность календарного года не соответствует астрономическому. И тогда египтяне добавили к календарному году еще 5 дней, которые, однако, не были днями месяцев. Это были 5 праздничных дней, соединявших соседние календарные годы. Таким образом, египетский календарный год имел следующую структуру: 365 = 12' 30 + 5.

Возникает вопрос: почему египтяне разделили календарный год на 12 месяцев? Ведь существовали календари с другим количеством месяцев в году. Например, в календаре майя год состоял из 18 месяцев по 20 дней в месяце. Следующий вопрос, касающийся египетского календаря: почему каждый месяц имел ровно 30 дней (точнее суток)? Можно поставить некоторые вопросы и по поводу египетской системы измерения времени, в частности по поводу выбора таких единиц времени, как час, минута, секунда. В частности, возникает вопрос: почему единица часа была выбрана таким образом, чтобы она ровно 24 раза укладывалась в сутки, то есть, почему 1 сутки = 24 (2' 12) часа? Далее: почему 1 час = 60 минут, а 1 минута = 60 секунд? Эти же вопросы относятся и к выбору единиц угловых величин, в частности: почему окружность разбита на 360°, то есть, почему 2p =360° =12' 30° ? К этим вопросам добавляются и другие, в частности: почему астрономы признали целесообразным считать, что существует 12 зодиакальных знаков, хотя на самом деле в процессе своего движения по эклиптике Солнце пересекает 13 созвездий? И еще один «странный» вопрос: почему вавилонская система счисления имела весьма необычное основание – число 60?

Возникает вопрос: не существует ли какой-то фундаментальной научной идеи, которая могла бы дать простое и логичное объяснение использованию этих чисел в египетских системах? Для ответа на это вопрос обратимся к додекаэдру, главной геометрической пропорцией которого является золотая пропорция. Известно, что имеет 12 граней (пентаграммы), 30 ребер и 60 плоских углов на своей поверхности. Каково же было удивление древних египтян, когда они обнаружили, что этими же числами выражаются циклы Солнечной системы, а именно, 12-летний цикл Юпитера, 30-летний цикл Сатурна и, наконец, 60-летний цикл Солнечной системы. Таким образом, между такой совершенной пространственной фигурой, как додекаэдр, и Солнечной системой, существует глубокая математическая связь! Такой вывод сделали античные ученые. Это и привело к тому, что додекаэдр был принят в качестве «главной фигуры», которая символизировала Гармонию Мироздания. И тогда египтяне решили, что все их главные системы (календарная система, система измерения времени, система измерения углов) должны соответствовать числовым параметрам додекаэдра! Поскольку по представлению древних движение Солнца по эклиптике имело строго круговой характер, то, выбрав 12 знаков Зодиака, дуговое расстояние между которыми равнялось ровно 30°, египтяне удивительно красиво согласовали годичное движение Солнца по эклиптике со структурой своего календарного года: один месяц соответствовал перемещению Солнца по эклиптике между двумя соседними знаками Зодиака! Более того, перемещение Солнца на один градус соответствовало одному дню в египетском календарном году! При этом эклиптика автоматически получалась разделенной на 360°. Разделив каждые сутки на две части, следуя додекаэдру, египтяне затем каждую половину суток разделили на 12 частей (12 граней додекаэдра) и тем самым ввели час – важнейшую единицу времени. Разделив один час на 60 минут (60 плоских углов на поверхности додекаэдра), египтяне таким путем ввели минуту – следующую важную единицу времени. Точно также они ввели секунду – наиболее мелкую на тот период единицу времени.

Таким образом, выбрав додекаэдр в качестве главной «гармонической» фигуры мироздания, и строго следуя числовым характеристикам додекаэдра 12, 30, 60, египтянам удалось построить чрезвычайно стройный календарь, а также системы измерения времени и угловых величин. Эти системы полностью согласовывалась с их «Теорией Гармонии», основанной на золотой пропорции, поскольку именно эта пропорция лежит в основе додекаэдра.

Вот такие удивительные выводы вытекают из сопоставления додекаэдра с Солнечной системой. И если наша гипотеза правильна (пусть кто-нибудь попытается ее опровергнуть), то отсюда следует, что вот уже много тысячелетий человечество живет под знаком золотого сечения! И каждый раз, когда мы смотрим на циферблат наших часов, который также построен на использовании числовых характеристик додекаэдра 12, 30 и 60, мы прикасаемся к главной «Тайне Мироздания» — золотому сечению, сами того не подозревая!

Золотое Сечение и Человек. Но наибольший интерес у школьников вызовет информация о том, что Человек, как высшее создание Природы, весь «нашпигован» золотыми сечениями. Как известно, важнейшей линией нашей фигуры является линия талии или пупка, который делит нашу фигуру на две неравные части. На рисунке ниже показаны три человеческие фигуры, в которых соблюдены различные пропорции. Фигура слева кажется нам гармоничной или совершенной; в ней линия пупа делит фигуру золотым сечением. Человеческие фигуры справа кажутся нам негармоничными, непропорциональными. На рисунке (б) человек имеет длинное туловище и короткие ноги, то есть линия пупа сдвинута вниз по отношению к гармоничному телу на рисунке (а). Тело человека на рисунке (в) также кажется нам негармоничным, так оно имеет короткое туловище и длинные ноги, то есть, линия пупа сдвинута вверх по отношению к гармоничному телу на рисунке (а).

Пропорции человеческого тела: а) линия пупа делит тело золотым сечением (гармоничное тело); б) длинное туловище и короткие ноги (негармоничное тело); в) длинные ноги и короткое туловище (негармоничное тело)

Золотая пропорция занимает ведущее место в художественных канонах Леонардо да Винчи и Дюрера. В соответствии с этими канонами золотая пропорция отвечает делению тела на две неравные части линией талии. То есть самый простой вид осуществления Золотого Сечения заключается в том, что все тело линией пупа должно делиться в отношении Золотого Сечения. Точно также при вытянутых по швам руках кончики концы средних пальцев должны весь рост человека делить в отношении Золотого Сечения. Известное правило, что лоб, нос и нижняя часть лица должны быть равны, дополняется тем, что рот делит нижнюю часть тела в отношении Золотого Сечения. Брови делят всю голову в отношении Золотого Сечения и т.д.

Пальцы человека состоят из трех фаланг: основных, средних и ногтевых. Длина основных фаланг всех пальцев, кроме большого, равна сумме длин двух остальных фаланг, а длина всех фаланг каждого пальца соотносятся друг к другу по правилу золотой пропорции.

Был проведен гармонический анализ женского лица с использованием пентаграммы и золотого сечения. Было установлено, что наибольшее соответствие «принципу золотого сечения» лицо женщины принимает в тот момент, когда женщина улыбается. Женщина воспринимается болле красивой с теплой улыбкой, чем с суровым взглядом, наполненным гневом, надменностью и пренебрежением.

Гармонический анализ женского лица

Золотое Сечение и искусство. Искусство дает огромное количество примеров использования Золотого Сечения. Пирамида Хеопса (наибольшая из египетских пирамид), знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптур (включая Дорифора и Венеру Милосскую), непревзойденная «Мона Лиза» Леонардо да Винчи, картины Рафаэля и Микеланджело, знаменитого пейзажиста Ивана Шишкина и талантливого русского художника Константина Васильева, этюды Шопена и музыкальные произведения Бетховена, Моцарта, Чайковского и Беллы Барток, «Модулор» Корбюзье – вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, которые наполнены чудесной гармонией, в основе которой лежит удивительное Золотое Сечение!

Гармонический анализ Парфенона, одного из наиболее известных архитектурных памятников греческой культуры, был осуществлен многими исследователями. И хотя эти исследования несколько отличаются своими подходами, но все исследователи сходятся в главном: Парфенон отличается удивительной величественностью и глубокой человечностью архитектурных и скульптурных образов и что главной причиной красоты Парфенона является исключительная соразмерность его частей, основанная на золотом сечении.

Парфенон и его гармонический анализ

Ниже приведены выдающиеся скульптурные произведения, основанные на Золотом Сечении: Давид Поликлета, Венера Милосская (Лувр) и Давид Микеланджело.

Дорифор Поликлета и его гармонический анализ

Венера Милосская и ее гармонический анализ

Давид Микеланджело

Использование золотого сечения в произведениях искусства широко известно. Доказано, что Леонардо да Винчи использовал так называемые «золотые треугольники», которые являются частью пентаграммы, для композиционного построения своей знаменитой «Джоконды».

«Мона Лиза» («Джоконда») Леонардо да Винчи

Исследуя композиционную структуру картин – шедевров мирового изобразительного искусства, искусствоведы обратили внимание на тот факт, что в пейзажных картинах широко используется закон Золотого Сечения. Блестящим примером использования этого закона является картина И.И. Шишкина «Корабельная роща».

Картина Шишкина «Корабельная роща» и ее гармонический анализ

Из современных художников, использовавших золотое сечение в своих картинах, наиболее яркой личностью является российский художник Константин Васильев, к сожалению, рано ушедший из жизни. Таким примером является его знаменитая картина «У окна».

Картина Константина Васильева «У окна»

Главная мысль этой картины, вся кульминация ее заложена в образе девушки, чье лицо озарено удивительной чистотой, достоинством и спокойной мудростью. И лицо девушки художник разместил в «золотой» точке картины, которая находится на пересечении двух «золотых» линий – горизонтальной и вертикальной, пересечение которых в точности проходят через глаз девушки. И это композиционное решение является одной из причин ощущения удивительной гармонии, которой наполнена картина, олицетворяющая все те исконные начала, которые всегда делали русскую женщину прекрасной.

Эти примеры можно было бы продолжать до бесконечности. У каждого человека, прочитавшего эту статью, возникает вполне естественный вопрос: почему с такой интересной информацией, касающейся золотого сечения, чисел Фибоначчи, правильных многогранников, меня не ознакомили в средней школе или хотя бы в университете? Ведь эти знания существуют в науке, по крайней мере, две с половиной тысячи лет. И ясно, что эти знания, несомненно, обогатили бы каждого из нас. И вряд ли кто-либо из признанных ученых в области педагогики, увенчанных лаврами и почетными научными званиями за создание программ школьной математической подготовки, сможет дать вразумительный ответ на этот вопрос. Скорее всего, дело в традиции. Традиционно классическая наука, а, следовательно, и классическая педагогика, относилась к золотому сечению с некоторым предубеждением в связи с тем, что Золотое Сечение широко использовалось в астрологии и так называемых «эзотерических науках» (пентаграмма, Платоновы тела, Куб Метатрона и т.д.). И, по-видимому, «материалистическое образование» не нашло ничего более разумного, как выбросить Золотое Сечение на свалку «сомнительных научных концепций» вместе с астрологией и «эзотерическими» науками.

Анализ современных программ математического образования в таких странах, как США, Канада, Россия и Украина, показывает, что в большинстве из них нет даже упоминания о Золотом Сечении, то есть, имеет место полное игнорирование одного из важнейших математических открытий античной математики.

По мнению Кеплера (и не только Кеплера) изучению уникальных свойств и применений золотого сечения в окружающем нас мире надо уделять в образовании не меньшее внимание, чем теореме Пифагора. И тогда вполне возможно, что изучение математики, которую в своем большинстве ученики рассматривают как сухую и неинтересную дисциплину, неожиданно могло бы превратиться в увлекательный поиск математических закономерностей окружающего нас мира. То есть, введение золотого сечения в математическое образование поднимает интерес учащихся к изучению математики!

Введение курса «Начала гармонии» в школьное образование может резко повысить интерес учащихся к изучению науки и математики. Огромный энтузиазм у школьников может вызвать идея создания в каждой школе Музея Гармонии и Золотого Сечения [56], который представляет собой уникальную коллекцию всех произведений Природы и Искусства, основанных на Золотом Сечении.

Своими соображениями по поводу реформы математического образования и введения курса «Начала Гармонии» в школьное образование автор поделился с профессором Аланом Роджерсоном, который возглавляет Международный Проект «Математическое образование в 21-м веке». Проф. Роджерсон прислал автору весьма обнадеживающее письмо следующего содержания:

«Дорогой Профессор Стахов! Я восхищен Вашей статьей, наполненной интереснейшей информацией, часть из которой мне неизвестна. Ваши идеи настолько глубоки, что их внедрение в школах – это следующий шаг в математическом образовании. Имеются ли преподаватели в Украине или где-либо, которые начали использовать Ваши идеи и Вашу научную программу? В наибольшей степени я был бы заинтересован в информации об их преподавательском опыте. С наилучшими пожеланиями – Алан Роджерсон».

Курс «Основы гармонии систем». А теперь перейдем к анализу программы курса «Основы гармонии систем», который необходимо ввести в учебные программы подготовки бакалавров всех специализаций. Сразу заметим, что программа курса может отличаться для разных специализаций. Общая особенность этого курса для всех специализаций – это историчность курса. Это означает, что в начале курса должен быть изложен важный исторический материал, показывающей роль Учения о гармонии в развитии науки. В русскоязычной литературе можно рекомендовать две книги по истории Учения о гармонии и теории Золотого Сечения, а именно, книгу В.П. Шестакова [71] и книгу Э.М. Сороко [75]. Вторая особенность такого курса для физико-математических, технических, естественно-научных и экономических специальностей – это повышение уровня излагаемого математического и научного материала. Речь идет о введении в программу курса следующих тем:

1.Формулы Бине и гиперболические функции Фибоначчи и Люка. В качестве иллюстрации приложения этих функций в структурах живой природы весьма желательно изложить новую геометрическую теорию филлотаксиса, разработанную украинским ученым Олегом Боднаром – геометрию Боднара [81].

2. Элементы математической теории гармонии. Треугольник Паскаля. Обобщенные числа Фибоначчи. Задача о золотом р-сечении. Обобщенный принцип Золотого Сечения.

3. Теория «золотых» алгебраических уравнений.

4. Обобщение формул Бине для р-чисел Фибоначчи. Обобщенные числа Люка.

5. Современные научные открытия, основанные золотом сечении, числах Фибоначчи и правильных многогранниках. Закон структурной гармонии систем Эдуарда Сороко. Квазикристаллы Шехтмана. Фуллерены. Фибоначчиевые резонансы генетического кода.

Для гуманитарных специальностей и специальностей по искусству основное внимание в курсе «Основы гармонии систем» должно уделяться следующим темам, изложение которых дано в книге А.В. Волошинова [73]:

1. Искусство. Наука. Красота

2. Математика и музыка

3. Математика и архитектура

4. Математика и живопись

5. Математика и литература

Курс «Математическая теория гармонии». Этот курс предназначен для магистров физико-математических и технических специальностей. В этом курсе в дополнение к математическим темам, которые были включены в курс «Основы гармонии систем», предлагаются следующие темы:

1. Алгоритмическая теория измерения

2. Новая теория действительных чисел

3. Арифметика Фибоначчи и «золотая» арифметика

4. Троичная зеркально-симметричная арифметика

5. Числа Шпинадель-Татаренко

6. Матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования

7. «Золотые» матрицы и криптография

8. «Золотые» резистивные делители и новая метрология

16. Заключение

Из проведенного исследования вытекают следующие выводы и предложения:

1. Идея Гармония Мироздания и Золотого Сечения, восходящая к Пифагорейскому учению о числовой гармонии мироздания, является древнейшей научной парадигмой, которая возникла в тот же период, как и сама наука. Эта идея относится к разряду «вечных» проблем, интерес к которой никогда не угасал в науке, но особенно возрастал в периоды наивысшего расцвета человеческой культуры. Есть все основания полагать, что последняя четверть 20-го века и начало 21-го века стали периодами своеобразного Ренессанса этой древнейшей научной парадигмы в современной науке. Современная наука, в которой преобладают процессы дифференциации, нуждается в некоторой междисциплинарной, интегрирующей и синтезирующей научной дисциплине, которая объединила бы все направления науки, искусства и технологии. И таким междисциплинарным научным направлением может стать Учение о гармонии. В его основе лежат следующие научные положения:

1. Гармония царит во всем мире, она является упорядочивающим и творческим началом всей природы и космоса.
2. Вся природа и искусство – это целесообразно и гармонично устроенное целое. И в природе и в искусстве отдельные вещи и явления существуют как часть целого, как момент в общей системе красоты и гармонии.
3. «Математическая Гармония» является объективным и всеобщим свойством Мироздания в целом и любой ее части в отдельности. Все структуры природы стремятся к «гармоничному», то есть «оптимальному» (с некоторой точки зрения) состоянию.

2. Математической основой Учения о гармонии является Математическая теория гармонии или Математика Гармонии, направленная на изучение гармонии с математической, количественной точки зрения. Основу этой теории составляют: «теория Золотого Сечения», «теория правильных многогранников», берущие начало в греческой науке (Начала Евклида), и «теория чисел Фибоначчи», берущая начало в средневековой науке. Огромный вклад в развитие этой теории в эпоху Возрождения сделан выдающимся итальянским математиком Лукой Пачоли, автором первой в истории науки математической книги о Золотой Пропорции, и гениальным астрономом Иоганном Кеплером, автором книги «Гармония мироздания». В 19 в. эта математическая теория получила дальнейшее развитие в трудах французских математиков Люка и Бине, а в 20-м веке – в трудах российского математика Николая Воробьева и американского математика Вернера Хоггатта, создателя Фибоначчи-ассоциации. Однако в последние десятилетия эта теория пополнилась новыми научными результатами, имеющими «стратегическое» значение для развития современной науки:

2.1. Теория гиперболических функций Фибоначчи и Люка (Стахов, Ткаченко, Розин). Новый класс гиперболических функций развивает и обобщает классическую «теорию чисел Фибоначчи» и превращает последнюю в непрерывную теорию, к которой применимы все математические методы «непрерывной математики» (в частности, интегрирование и дифференцирование). Новая геометрическая теория филлотаксиса, разработанная украинским архитектором Олегом Боднаром [81], является блестящим подтверждением эффективности приложения нового класса гиперболических функций для моделирования процессов, протекающих в живой природе. «Золотой» гиперболический мир, основанный на функциях Фибоначчи и Люка и «геометрии Боднара», существует объективно и независимо от нашего сознания. Этот мир с удивительной настойчивостью проявляет себя, прежде всего, в живой природе, в частности, он обнаруживают себя на поверхности сосновых шишек, ананасов, кактусов, головок подсолнечника, корзинок цветов и т.д. в виде филлотаксисных спиралей, основанных на числах Фибоначчи, числах Люка и других числовых рекуррентных рядах подобного типа («Закон филлотаксиса»).

2.2. Комбинаторный подход к созданию Математики Гармонии (Стахов). Этот подход привел к новым научным открытиям: обобщенным числам Фибоначчи или р-числам Фибоначчи, р-числам Люка, золотым р-пропорциям, «золотым» алгебраическим уравнениям, обобщенному принципу Золотого Сечения. Главным в этом исследовании является осознание того факта, что классическая Золотая Пропорция не является единственным пропорциональным отношением, выражающим Гармонию Природы. Этот вывод подтверждается исследованиями белорусского философа Эдуарда Сороко [75], который выдвинул обобщенные Золотые Пропорции («Золотые р-пропорции) на уровень всеобщего «Закона структурной гармонии систем», приложимого ко всем структурам Природы, Науки и Искусства. К этому же направлению примыкают исследования в области новых числовых пропорций, проведенных аргентинским математиком Верой Шпинадель, и российским ученым Александром Татаренко («Числа Шпинадель-Татаренко»).

3. Широкое внедрение научной парадигмы о числовой гармонии мироздания в массовое сознание может быть осуществлено путем введения комплекса курсов по Гармонии систем и Золотому Сечению, которые могут быть предложены системе образования для школ всех ступеней, дифференцируя их по уровням сложности:

3.1. Курс «Начала гармонии» должен быть введен в систему среднего образования в качестве завершающего курса научного и физико-математического образования школьников. Его главная цель — это выработка у учащихся нового восприятия Природы и Искусства, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения.

3.2. Курс «Основы гармонии систем» должен быть введен в систему высшего образования в качестве завершающего курса научного и физико-математического образования бакалавров всех специализаций. Его главная цель – выработка у студентов нового научного мировоззрения, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения.

3.3. Курс «Математическая теория гармонии» должен быть введен в систему высшего образования для определенной категории физико-математических, инжененрных и педагогических специальностей в качестве базового курса магистерской подготовки. Главная цель курса – изучение новой научной дисциплины «Математическая теория гармонии» как нового медисциплинарного направления современной науки.

Литература

1. Стахов А.П. Роль Золотого Сечения в современном математическом и общем образовании // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12374, 23.08.2005
2. Стахов А.П. Программа курса «Математика Гармонии и Золотого Сечения» для физико-математических факультетов педагогических университетов // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12437, 20.09.2005
3. Приглашение к совершенствованию знаний о гармонии космического бытия и созданию на их началах «Математики Гармонии» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12489, 11.10.2005.
4. Митропольский Ю.А. Отзыв о научном направлении украинского ученого, доктора технических наук, профессора Алексея Петровича Стахова // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12452, 23.09.2005
5. Абрамчук В.С. Отзыв кафедры математики Винницкого государственного педагогического университета на курс лекций «Математика Гармонии и Золотого Сечения» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12457, 26.09.2005
6. Гринбаум О.Н. Гармония, математика, образование // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12563, 07.11.2005
7. Боднар О.Я. Учение о гармонии – в систему образования // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12775, 02.01.2006

Книги и брошюры А.П. Стахова

8. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва, Советское Радио, 1977 г.
9. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения. Москва, Знание, серия «Математика и кибернетика», вып.6, 1979 г.
10. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. Москва, Радио и связь, 1984 г.
11. Стахов А.П., Лихтциндер Б.Я., Орлович Ю.П., Сторожук Ю.А. Кодирование данных в информационно-регистрирующих системах. Киев, Техника, 1985 г.
12. Стахов А.П. (редактор). Помехоустойчивые коды: Компьютер Фибоначчи, Москва, Знание, серия «Радиоэлектроника и связь», вып.6, 1989 г.
13. Stakhov A.P. Computer Arithmetic based on Fibonacci Numbers and Golden Section: New Information and Arithmetic Computer Foundations». Toronto, SKILLSET-Training, 1997.
14. Stakhov A.P., Massingua V., Sluchenkova A.A. Introduction into Fibonacci Coding and Cryptography». Харьков, Изд-во «Основа» Харьковского университета, 1999 г. (
15. Stakhov A.P. (edition). The Golden Section: Theory and Applications. Mozambique, University Eduardo Mondlane, Boletin de Informatica, No 9/10, January 1999.
16. Stakhov A.P., Sluchenkova A.A. Museum of Harmony and Golden Section: mathematical connections in Nature, Science and Art». Vinnitsa, ITI, 2003.
17. Stakhov A.P. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions: a New Mathematics for Living Nature. Vinnitsa, ITI, 2003.
18. Стахов А.П. Новая математика для живой природы: Гиперболические функции Фибоначчи и Люка». Винница, Изд-во «ITI», 2003.
19. Стахов А.П. Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца. Винница, ITI, 2003.
20. Стахов А.П. Сакральная Геометрия и Математика Гармонии. Винница, ITI, 2003.

Статьи А.П. Стахова на русском и украинском языках

21. Стахов А.П. Избыточные двоичные позиционные системы счисления. В сборнике «Однородные цифровые вычислительные и интегрирующие структуры», вып.2, Изд-во Таганрогского радиотехнического института, 1974 г.
22. Стахов А.П. Измерение и поиск. В сборнике «Проблемы случайного поиска», №3, Рига, Изд-во «Зинатне», 1974 г.
23. Стахов А.П. Использование естественной избыточности «фибоначчиевых» систем счисления для контроля вычислительных систем. Автоматика и вычислительная техника, №6, 1975 г.
24. Стахов А.П. Принцип асимметрии логики измерения. Проблемы передачи информации, №3, 1976 г.
25. Стахов А.П. «Фибоначчиевые» двоичные позиционные системы счисления. В сборнике «Кодирование и передача дискретных сообщений в системах связи». Москва, Наука, 1976 г.
26. Стахов А.П. Методологические аспекты введения кодовой избыточности в цифровые вычислительные машины. Автоматика и вычислительная техника, №15, 1976 г.
27. Стахов А.П. Цифровая метрология в кодах Фибоначчи и кодах золотой пропорции. В сборнике «Современные проблемы метрологии». Москва, Изд-во Всесоюзного заочного машиностроительного института, 1978 г.
28. Стахов А.П. «Золотая» пропорция в цифровой технике. Автоматика и вычислительная техника, №1, 1980 г.
29. Стахов А.П., Лужецкий В.А. Машинная арифметика ЦВМ в кодах Фибоначчи и «золотой» пропорции. Москва, Изд-во АН СССР, Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика», 1981 г.
30. Стахов А.П. Перспективы применения систем счисления с иррациональными основаниями в технике аналого-цифрового и цифроаналогового преобразования. Журнал «Измерения, Контроль, Автоматизация», №6, 1981 г.
31. Стахов А.П. Коды золотой пропорции или системы счисления для ЭВМ будущего? Журнал «Техника — молодежи», №7, 1985 г.
32. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения и основания компьютерной арифметики. Журнал «Измерения, Контроль, Автоматизация», №2, 1988 г.
33. Стахов О.П. За принципом золотої пропорції: перспективний шлях розвитку обчислювальної техніки. Вісник Академії наук Української РСР, №1-2, 1990 г.
34. Стахов О.П. Вимірювання — фундаментальна проблема науки. Вісник Академії наук Української РСР, №6, 1991 г.
35. Стахов О.П. Золотий переріз і наука про гармонію систем. Вісник Академії наук Української РСР», №12, 1991 г.
36. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии наук УССР, том 208, № 7, 1993 г.
37. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения: новый взгляд на теорию позиционных систем счисления и компьютерную арифметику. Международный научный журнал «Управляющие системы и машины», №4-5, 1994
38. Стахов О.П. Чи може бути створена нова елементарна математика, що базується на «Золотому Перетині»? Наукові записки Вінницького державного педагогічного університету. Серія «Фізика і математика», вип. 1, 2002 р.
39. Стахов А.П. Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа. Украинский математический журнал, том. 56, 2004 г.
40. Стахов А.П. Сакральная Геометрия и Математика Гармонии. Труды Международной конференции «Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве», Винница, 2003 г.
41. Стахов А.П. Кодирование данных, основанное на фибоначчиевых матрицах. Труды Международной конференции «Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве», Винница, 2003 г.
42. Стахов А.П., Розин Б.Н. Симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка. Number, Time, Relativity. Proceedings of International Scientific Meeting. Moscow, 10 August – 13 August, 2004.
43. Стахов А.П., Розин Б.Н. Новый класс гиперболических функций. Труды Института прогрессивных исследований, вып. 4, Израиль, Арад, 2004 г.
44. Стахов А.П. Коды и компьютеры Фибоначчи, матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования. Труды Института прогрессивных исследований, вып. 4, Израиль, Арад, 2004 г..

Статьи А.П. Стахова в международных журналах и сборниках

45. Stakhov A.P. The Medial Section as a Proportion for the Thermo-dynamical Equilibrium of Self-organizing Systems. Proceedings of the International Symposium «System Analysis and Simulation», Berlin, 1988.
46. Stakhov A.P. The Golden Section in the measurement theory. An International Journal «Computers & Mathematics with Applications», Volume 17, No 4-6, 1989.
47. Stakhov A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics. Applications of Fibonacci Numbers, Volume 7, 1998.
48. Stakhov AP. Brousentsov’s ternary principle, Bergman’s number system and ternary mirror-symmetrical arithmetic. The Computer Journal 2002, Vol. 45, No. 2: 222-236.
49. Stakhov A, Rozin B. On a new class of hyperbolic function. Chaos, Solitons & Fractals 2004, 23(2): 379-389.
50. Stakhov A., Rozin B. The Golden Shofar. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 26(3); 677-684.
51. Stakhov A., Rozin B. The «golden» algebraic equations. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1415-1421.
52. Stakhov A., Rozin B. Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1162-1177.
53. Stakhov A., Rozin B. The continuous functions for the Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals 2006, 28 (4): 1014-1025.
54. Stakhov A. The Generalized Principle of the Golden Section and its applications in mathematics, science, and engineering. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 26 (2): 263-289.
55. Stakhov A. Fundamentals of a new kind of Mathematics based on the Golden Section. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1124-1146.

Электронные публикации А.П. Стахова

56. Стахов А.П., Слученкова А.А. Музей Гармонии и Золотого Сечения, 2001 (http://www.goldenmuseum.com/).
57. Stakhov A.P. Museum of Harmony and the Golden Section: mathematical connections in Nature, Science and Art, 2002 (http://www.fenkefeng.org/essaysm18004.html)
58. Стахов А.П. Компьютер Фибоначчи. Москва, PC Week, 2002, № 34 (352) ( http://www.pcweek.ru/Year2002/N34/CP1251/Strategy/chapt2.htm)
59. Стахов А.П. Компьютер Фибоначчи (http://www.ssga.ru/erudites_info/computers/kompfib.html )
60. Стахов А.П. Компьютеры Фибоначчи и новая теория кодирования: история, теория, перспективы. Электронный журнал Таганрогского радиотехнического университета «Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы», № 2 (18), 2004 (http://pitis.tsure.ru/files18/p5.pdf)
61. Стахов А.П., Розин Б.Н. Теория формул Бине для р-рядов Фибоначчи и Люка. Электронный журнал Таганрогского радиотехнического университета «Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы», № 1 (21), 2005 (http://pitis.tsure.ru/files21/10.pdf).
62. Стахов А.П. Сакральная геометрия и математика гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.11176, 26.04.2004 (http://trinitas.ru/rus/doc/0202/010a/02020028.htm).
63. Стахов А.П. Математика Гармонии как новое междисциплинарное направление современной науки // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12371, 19.08.2005
    (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320001.htm)
64. Стахов А.П. «Металлические Пропорции» Веры Шпинадель // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12532, 25.10.2005 (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320029.htm)
65. Стахов А.П. Формула Кассини // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12542, 01.11.2005 (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320030.htm)
66. Стахов А.П. «Код да Винчи», Платоновы и Архимедовы тела, квазикристаллы, фуллерены, решетки Пенроуза и художественный мир Матюшки Тейи Крашек // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12561, 07.11.2005 (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm)
67. Стахов А.П., Розин Б.Н. «Золотые» гиперболические модели Природы // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12616, 22.11.2005 (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320034.htm)
68. Стахов А.П. Троичный принцип Брусенцова, система счисления Бергмана и «золотая» троичная зеркально-симметричная арифметика // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12355, 15.08.2005 (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/003a/02320001.htm)
69. Стахов А.П. Теорема Пифагора и числа Фибоначчи // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12403, 06.09.2005 (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/003a/02320003.htm)
70. Стахов А.П. Под знаком «Золотого Сечения»: исповедь сына студбатовца // «Академия Тринтаризма» (http://www.trinitas.ru/rus/002/a0232100.htm)
71. Шестаков В.П. Гармония как эстетическая категория. Москва: Наука, 1973.
72. Шубников А.В. Гармония в природе и искусстве. Природа, 1927, №7-8, с. 609-622
73. Волошинов А.В. Математика и искусство. Москва, Просвещение, 2000 г.
74. Шмелев И.П. Феномен Древнего Египта. Минск, Изд-во «Лотаць», 1993.
75. Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Минск, Наука и техника, 1984.
76. Гримм Г.Д. Пропорциональность в архитектуре. Москва, ОНТИ, 1935.
77. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. Москва, Изд-во Всесоюзной академии архитектуры. 1936.
78. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. Москва, Наука, 1978.
79. Hoggat, V. E. Fibonacci and Lucas Numbers, Houghton-Mifflin, Palo Alto, California, 1969.
80. Vajda, S. Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications. Ellis Horwood limited, 1989.
81. Боднар О.Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. Львов, Изд-во «Свит», 1994.
82. Aurich R., Lusting S., Steiner F., Then H. Hyperbolic Universes with a Horned Topology and the CMB Anisotropy // Classical Quantum Gravity, 2004, No. 21. – P. 4901-4926.
83. Шевелев И.Ш. Метаязык живой природы. – Кострома: Воскресенье 2000.
84. Неаполитанский С.М., Матвеев С.А. Сакральная геометрия. – СПБ.: Издательство «Святослав», 2003.
85. Spinadel V.W. La familia de nъmeros metбlicos en Diseсo. Primer Seminario Nacional de Grбfica Digital, Sesiуn de Morfologнa y Matemбtica, FADU, UBA, 11-13 Junio de 1997. Volumen II, ISBN 950-25-0424-9 [in Spanish].
86. Spinadel V.W. From the Golden Mean to Chaos. Editorial Nueva Librerнa, Buenos Aires, Argentina, ISBN 950-43-9329-1, 1998, second edition Nobuko, 2004.
87. Татаренко А.А. Золотой Т_m — канон антропокосмоса — гармония Золотых Т_m –Гармоний Мира. Рериховский вестник Дона, №11, 1999.
88. Стахов А.П. Предложение к завершению спора о приоритете // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12612, 21.11.2005
89. Bergman G. A number system with an irrational base // Mathematics Magazine, 1957, No 31: 98-119.
90. Гратиа Д. Квазикристаллы. Москва, Успехи физических наук, 1988, том 156, вып. 2, с. 347-363
91. Бутусов К.П. Золотое сечение в Солнечной системе. – Астрономия и небесная механика.Серия «Проблемы исследования Вселенной», 1978, вып. 7. – с. 475-500.
92. Mauldin RD and Willams SC. Random recursive construction. Trans. Am. Math. Soc., 1986, 295: 325-346.
93. El Naschie MS On dimensions of Cantor set related systems. Chaos, Solitons & Fractals 1993, 3: 675-685
94. El Nashie MS. Quantum mechanics and the possibility of a Cantorian space-time. Chaos, Solitons & Fractals 1992, 1: 485-487
95. El Nashie MS. Is Quantum Space a Random Cantor Set with a Golden Mean Dimension at the Core? Chaos, Solitons & Fractals 1994, 4(2): 177-179
96. El Naschie MS. Elementary number theory in superstrings, loop quantum mechanics, twistors and E-infinity high energy physics. Chaos, Solitons & Fractals 2006, 27(2): 297-330.
97. Владимиров Ю.С. Кварковый икосаэдр, заряды и угол Вайнбеога. Труды Международной конференции «Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве». Винница: Винницкий аграрный университет, 2003, с. 69-79.
98. Владимиров Ю.С. Метафизика. Москва: Бином, 2002.
99. Баранцев Р.Г. Становление тринитарного мышления // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12582, 14.11.2005
100. Харитонов А.С. Симметрия хаоса и порядка в круговороте энергии. Москва: ИАЦ «Энергия», 2004.
101. Забродоцкий Ю.Н. Теория наступления и контр-наступления в финансово-экономической войне – фондирование и контр-фондирование // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12703, 13.12.2005