Аннотация

В статье дается исторический обзор развития древнейшей научной парадигмы — Учения о гармонии и Золотом Сечении, восходящего к пифагорейской доктрине о числовой гармонии мироздания. Обсуждается его роль в современной науке. Излагаются основы «Математической теории гармонии» — нового междисциплинарного направления современной науки. Обсуждается роль древнейшей научной парадигмы в современном образовании.

Содержание

Часть 1

1. Введение
2. Учение о гармонии в своем историческом развитии
3. Эволюция Золотого Сечения
4. Уникальные математические свойства Золотого Сечения
5. «Золотые» гиперболические модели Природы
6. Математическая теория гармонии
7. «Металлические средние» или числа Шпинадель-Татаренко
8. Новая теория чисел

Часть 2

Литература

1. Введение

В настоящее время на сайте «Академия Тринитаризма» (Россия), который считается одним из наиболее рейтинговых научных сайтов России (1 000 000 посетителей), развернулась дискуссия по поводу введения курса «Математика Гармонии и Золотого Сечения» в современное образование. Дискуссия началась с публикации статьи автора «Роль Золотого Сечения в современном математическом и общем образовании» [1] и Программы курса «Математика Гармонии и Золотого Сечения» для физико-математических факультетов педагогических университетов [2], прочитанного автором для студентов физико-математического факультета Винницкого педагогического университета в 2001-2002 учебном году. В развитие этой дискуссии экспертный совет Академии Тринитаризма опубликовал «Приглашение к совершенствованию знаний о гармонии космического бытия и созданию на их началах «Математики Гармонии» [3]. В «Приглашении...» подчеркивается, что «современная цивилизация, развивающаяся в согласии с эгоистическими интересами, игнорирует принцип всеобщей гармонии космического бытия, согласно которому, гармония – функциональное взаимодействие противоположностей бытия в мерах целостности при единстве их изменения (развития) и сохранения». И далее: «Из понимания целостности и гармоничности Космоса, как живого и разумного, вытекает понимание предмета математики гармонии. Математика гармонии – это математика, изучающая и моделирующая гармонию бытия пространственно-временных форм Жизни, их количественные отношения, проявляющиеся в эволюции природы, общества и мышления. Создать такую математику и встроить ее в систему обязательного образования граждан — значит решить те проблемы, которые изложены нами в данном «Приглашении».

В дискуссии приняли участие известные ученые, в частности, академик Академии наук Украины Юрий Митропольский (Киев) [4], зав. кафедрой высшей математики Винницкого педагогического университета профессор Владимир Абрамчук (Винница) [5], доктор филологических наук профессор Олег Гринбаум (Санкт-Петербург) [6] и доктор искусствоведения профессор Олег Боднар (Львов) [7].

Цель настоящей статьи – развить и конкретизировать идеи, изложенные в упомянутом «Обращении» и в статьях академика Митропольского и профессоров Абрамчука, Гринбаума и Боднара. В статье дается исторический обзор развития Учения о гармонии и теории Золотого Сечения. Излагаются основные математические открытия современной теории Золотого Сечения и обосновывается роль древнейшей научной парадигмы в современном образовании. В значительной степени статья основывается на собственных исследованиях автора в области теории Золотого Сечения и его приложений, выполненных автором на протяжении последних 30 лет и изложенных в работах [1,2, 8-70].

2. Учение о гармонии в своем историческом развитии

О гармонии

С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Уже предметы обихода жителей древности, которые, казалось бы, преследовали чисто утилитарную цель – служить хранилищем воды, оружием на охоте и т.д., демонстрируют стремление человека к красоте. На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в самостоятельную ветвь науки – эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый – красоту в истине.

Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы … Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов – от цветка ромашки до обнаженного человеческого тела?

Существует легенда, что однажды Будда провел проповедь без единого слова. Он просто протянул цветок своим прихожанам. Это был известный «Цветок церемонии», то есть церемонии на языке форм, на немом языке цветов. Если рассматривать цветок вблизи и аналогично другие естественные и созданные человеком творения, то можно найти единство и порядок, свойственные всем этим предметам. Этот порядок и единство и есть Гармония, определяющая Красоту.

Математическое, эстетическое и художественное понимание гармонии

Как подчеркивает В.П. Шестаков в своей замечательной книге «Гармония как эстетическая категория» [71], «в истории эстетических учений выдвигались самые разнообразные типы понимания гармонии. Само понятие «гармония» употреблялось чрезвычайно широко и многозначно. Оно обозначало и закономерное устройство природы и космоса, и красоту физического и нравственного мира человека и принципы строения художественного произведения, и закономерности эстетического восприятия».

Шестаков выделяет три основных понимания гармонии, сложившихся в процессе развития науки и эстетики:

(1) Математическое понимание гармонии или математическая гармония. В этом смысле гармония понимается как равенство или соразмерность частей с друг другом и части с целым. В Большой Советской Энциклопедии мы находим следующее определение гармонии, которое выражает математическое понимание гармонии:

«Гармония – соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия».

(2) Эстетическая гармония. В отличие от математического понимания эстетическое понимание является уже не просто количественным, а качественным, выражающим внутреннюю природу вещей. Эстетическая гармония связана с эстетическими переживаниями, с эстетической оценкой. Наиболее четко этот тип гармонии проявляется при восприятии красоты природы.

(3) Художественная гармония. Этот тип гармонии связан с искусством. Художественная гармония – это актуализация принципа гармонии в материале самого искусства.

Симметрия, пропорция и гармония

Другой аспект исследования гармонии связан с проблемой симметрии. Как подчеркивает Шестаков, «исследование симметрии в современном значении этого понятия давно вышло за пределы собственно эстетики. Эта проблема изучается в современной физике, химии, математике, кристаллографии» [71, c.219]. В этой связи было выдвинуто ряд новых концептуальных подходов к изучению принципа симметрии. Главная идея таких подходов состоит в том, что именно законы симметрии являются отражением законов гармонии в природе. В статье «Гармония в природе и искусстве» Шубников определяет гармонию как порядок, сравнивая ее с тем порядком, который исследует наука, открывая и познавая законы природы. «Закон, гармония, порядок лежат в основе не только научной работы, но и всякого художественного произведения» [72, с.613].

Другое направление исследования математической гармонии связано с пониманием гармонии как пропорции. По существу понятие «симметрии» тесно связано с понятием «пропорции», поскольку «симметрия» как раз и означает соразмерность частей какого-либо целого как в отношении между собой, так и в соотношении с целым.

В настоящей статье мы акцентируем основное внимание на математической гармонии. Ясно, что математическое понимание гармонии принимает, как правило, математический вид и выражается в виде определенных числовых пропорций. Как подчеркивает Шестаков, математическая гармония «фиксирует внимание на количественной стороне дела и безразлично к качественному своеобразию частей, вступающих в гармоническое соответствие... Математическое понимание гармонии фиксирует, прежде всего, количественную определенность гармонии, но оно не заключает в себе представления об эстетическом качестве гармонии, о ее выразительности, связи с красотой».

Числовая гармония пифагорейцев

Пифагорейцы впервые выдвинули мысль о гармоническом устройстве всего мира, включая сюда не только природу и человека, но и весь космос. Согласно пифагорейцам, «гармония представляет собою внутреннюю связь вещей, без которой космос не смог бы существовать». Наконец, согласно Пифагору гармония имеет численное выражение, то есть, она интегрально связана с концепцией числа. Пифагорейцы создали учение о созидательной сущности числа. Аристотель в «Метафизике» отмечет именно эту особенность пифагорейского учения: «Так называемые пифагорейцы, занявшись математическим науками, впервые двинули их вперед и, воспитавшись на них, стали считать их началами всех вещей... Так как, следовательно, все остальное явным образом уподоблялось числам по всему своему существу, а числа занимали первое место во всей природе, элементы чисел они предположили элементами всех вещей и всю вселенную [признали] гармонией и числом».

Пифагорейцы признавали, что форма мира должна быть гармонической, а все элементы мироздания («стихии») связаны с гармоническими фигурами. Пифагор учил, что из куба возникла земля, из пирамиды (тетраэдра) – огонь, из октаэдра – воздух, из икосаэдра – вода, из додекаэдра – сфера вселенной (то есть эфир).

С таким представлением о гармонии связано и знаменитое пифагорейское учение о «гармонии сфер». Пифагор и его последователи считали, что движение светил вокруг центрального мирового огня создает чудесную музыку, воспринимаемую не слухом, а разумом. Учение о «гармонии сфер», о единстве микро- и макрокосмоса, учение о пропорциях – все эти идеи и составляют основу пифагорейского учения.

Главный вывод, который вытекает из пифагорейского учения, состоит в том, что гармония объективна, она существует независимо от нашего сознания и выражается в гармоничном устройстве всего сущего, начиная с космоса и заканчивая микромиром.

Последователи Пифагора

Платон. Пифагорейское учение о числовой гармонии мироздания оказало огромное влияние на развитие всех последующих учений о природе и сущности гармонии и получило отражение и развитие в работах великих мыслителей, в частности, оно лежит в основе космологии Платона. В своих работах Платон развивает пифагорейское учение, особенно подчеркивая космическое значение гармонии. Он твердо убежден в том, что мировую гармонию можно выразить в числовых пропорциях. Влияние пифагорейцев особенно прослеживается в «Тимее», где Платон вслед за пифагорейцами развивает учение о пропорциях и анализирует роль правильных многогранников («Платоновых тел»), из которых, по его мнению, Бог создал мир.

Птоломей. Клавдий Птоломей рассматривает гармонию как логическое начало, которое является предпосылкой простоты, всеобщности и порядка. По его мнению, к изучению гармонии следует подходить не с помощью слуха, а с помощью науки и прежде всего математики.

Витрувий. Знаменитый античный архитектор Витрувий внес огромный вклад в теорию гармонии и пропорциональности. Он рассматривает гармонию, прежде всего, как соразмерность. Она определятся Витрувием следующим образом: «Соразмерность есть стройная гармония отдельных членов самого сооружения и соответствие отдельных частей и всего целого одной определенной части, принятой за исходную. Как в человеческом теле эвритмия получается благодаря соразмерности между локтем, ступней, ладонью, пальцем и прочими его частями, так это бывает и в совершенных сооружениях».

Августин. В средние века пифагорейское учение получает дальнейшее развитие в сочинениях одного из видных «отцов церкви» Аврелия Августина (354-430). Согласно Августину всякая красота основана на пропорции и соответствии. Предметы прекрасны, когда «части их взаимно друг другу подобны и благодаря своему соединению составляют гармонию». Однако все эти части соотносятся друг к другу не произвольно, они основаны на порядке, числе и единстве. Согласно Августину, именно число есть основа красоты, которую мы воспринимаем посредством слуха и зрения.

Боэций. Средневековое представление о гармонии получило наибольшее отражение в трактатах, посвященных музыке. В средние века сам термин «музыка» означал нечто иное, чем в наше время. Он обозначал, прежде всего, одну из теоретических дисциплин в системе средневекового образования, которая стояла в одном ряду с арифметикой, астрономией и геометрией. Предметом этой дисциплины были не столько музыкальное искусство, сколько те математические пропорции и соотношения, которые лежат в основе музыки. В средние века считалось, что законы мира являются в своей основе музыкальными законами. Наиболее ярким представителем подобной точки зрения является средневековый философ Боэций (480-525). Начиная с Боэция, в эстетику средневековья прочно вошло учение о трех видах музыки: мировой (mundana), человеческой (humana) и инструментальной (instrumentalis). Фактически в представлении о мировой музыке Боэций реализовал пифагорейское учение о мировой гармонии. В современной науке подобные идеи развиваются в работах российского исследователя доктора философских наук, профессора Александра Волошинова, написавшего прекрасную книгу на эту тему «Математика и искусство» [72].

Эпоха Возрождения. В эпоху Возрождения, начиная с 15 в., формируется новое понимание мира и личности человека, который ставится в центр мироздания («гармонический человек»). В трудах великих гуманистов этой эпохи Джованни пико дела Мирандоллы (1463-1494), Леона Батиста Альберти (1404–1472) учение о гармонии получает дальнейшее развитие. Широко известно следующее высказывание Альберти о гармонии:

«Есть нечто большее, слагающееся из сочетания и связи трех вещей (числа, ограничения и размещения), нечто, чем чудесно озаряется весь лик красоты. Это мы называем гармонией, которая, без сомнения, источник всякой прелести и красоты. Ведь назначение и цель гармонии – упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту … И не столько во всем теле в целом или в его частях живет гармония, сколько в самой себе и в совей природе, так что я назвал бы ее сопричастницей души и разума. И есть для нее обширнейшее поле, где она может проявиться и расцвести: она охватывает всю жизнь человеческую, пронизывает всю природу вещей. Ибо все, что производит природа, все это соизмеряется законом гармонии. И нет у природы большей заботы, чем та, чтобы произведенное ею было совершенным. Этого никак не достичь без гармонии, ибо без нее распадается высшее согласие частей».

Анализируя это высказывание Альберти, Шестаков выделяет ряд важных моментов в этом высказывании. Самым главным из них является следующее:

«Гармония является законом не только искусства, но и природы, она охватывает всю жизнь человека и всю природу вещей. Гармония в искусстве является отражением гармонии в природе. Наилучшей моделью для нее является гармония частей живого организма, которая лучше всего воплощает в себе согласие и соответствие частей».

В эпоху Возрождения продолжаются поиски «совершенной пропорции». В работах Леонардо да Винчи и Дюрера учение о пропорциях сводится к поискам идеальной меры человеческого тела («Витрувийский человек» Леонардо да Винчи). В этот период возрождается интерес к «золотому сечению», а Леонардо да Винчи вводит это название в широкое употребление. Под непосредственным влиянием Леонардо в эту эпоху издается одно из самых знаменитых сочинений о «золотом сечении». Речь идет о трактате известного итальянского математика Луки Пачоли «О божественной пропорции». Пачоли не случайно вводит в название своего трактата термин «божественный». Он совершенно убежден в божественном происхождении «золотой пропорции».

«Гармония мира» Иоганна Кеплера. Среди крупных ученых 17-го столетия, уделявших много внимания проблемам гармонии, прежде всего, необходимо выделить гениального астронома Иоганна Кеплера (1571-1630). Наибольшую популярность приобрел его трактат «Гармония мира» (1619). В этом сочинении Кеплер дает яркую картину гармонического устройства Вселенной. Как подчеркивает Шестаков, «основная идея трактата Кеплера состоит в том, что гармония представляет собой универсальный мировой закон. Она придает целостность и закономерность устройства Вселенной. Этому закону подчинено все – и музыка, и свет звезд, и познание, и движение планет».

Пифагорейское учение о «музыке сфер» получает у Кеплера дальнейшее развитие Согласно Кеплеру, шесть планет, вращающихся вокруг Солнца, образуют между собой отношения, которые выражаются гармонической пропорцией. Каждая планета соответствует определенному музыкальному ладу и определенным тембрам голоса. Так, Сатурн и Юпитер, по его мнению, обладают свойством баса, Марс – тенора, Земля и Венера – альта, Меркурий – дисканта.

Учение Лейбница о «предустановленной гармонии». Лейбницу принадлежит знаменитое учение о «предустановленной гармонии», которое было частью его философской системы и имело теологическую окраску. Лейбниц рассматривает гармонию как универсальный закон связи и красоты Вселенной. Лейбниц представлял гармонию, как некоторое состояние, предопределенное Богом. Свое отношение к гармонии он выразил в следующих словах: «Преднамеренное устроение планет и животных более чем что-либо подтверждает мою систему предустановленной гармонии». Этой же точки зрения придерживался и великий Ньютон. Как пишет известный физик Л. Розенфельд, Ньютон свято верил в то, что «регулярность явлений природы не может быть делом случая, в ней проявляется наличие верховной мудрости и верховного интеллекта, которые все задумали в соответствии со своим назначением и великой гармонии всего творения».

«Мировая гармония» Шефтсбери. Одна из грандиозных космологических концепций гармонии принадлежит английскому философу и эстетику Шефтсбери (1671-1713). Согласно Шефтсбери, «гармония царит во всем мире, она является упорядочивающим и творческим началом всей природы и космоса». Одним из центральных понятий философии и эстетики Шефтсбери является понятие целого, оно означает универсальную связь и единство явлений и вещей. Вся природа – это целесообразно и гармонично устроенное целое. И в природе и в искусстве отдельные вещи и явления существуют как часть целого, как момент в общей системе красоты и гармонии.

Учение Гегеля о гармонии и мере. В работах великого немецкого философа Гегеля (1770 — 1831) содержится подробное систематическое учение о гармонии. Он развивает математическое представление о гармонии, рассматривая ее в системе других эстетических категорий, таких, как правильность, симметрия, закономерность.

Павел Александрович Флоренский (1882-1937) — русский религиозный философ и ученый, родился 9 января (по старому стилю) в местечке Евлах на западе нынешнего Азербайджана. Флоренский очень рано обнаружил исключительные математические способности и по окончании гимназии в Тифлисе поступил на математическое отделение Московского Университета. По окончании Университета он не принял предложения остаться при Университете для занятий в области математики, а поступил в Московскую Духовную академию.
Еще в годы студенчества его интересы охватывают философию, религию, искусство, фольклор. Он входит в круг молодых участников символического движения, завязывает дружбу с Андреем Белым, и первыми его творческими опытами становятся статьи в символистских журналах «Новый Путь» и «Весы», где он стремится внедрять математические понятия в философскую проблематику.

После окончания Духовной Академии в 1908 году он становится в ней преподавателем философских дисциплин, а в 1911 году принимает священство и в 1912 году назначается редактором академического журнала «Богословский вестник».

Летом 1928 г. его ссылают в Нижний Новгород, но в том же году, по хлопотам Е.П.Пешковой, возвращают из ссылки. В начале тридцатых годов против него развязывается кампания в советской прессе со статьями погромного и доносительского характера. 26 февраля 1933 г. последовал арест и через 5 месяцев, 26 июля,-- осуждение на 10 лет заключения. С 1934 г. Флоренский содержался в Соловецком лагере. 25 ноября 1937 г. особой тройкой УНКВД Ленинградской области он был приговорен к высшей мере наказания и расстрелян 8 декабря 1937 г.

В 20-х годах Флоренский пишет работу «У водоразделов мысли», третья глава которой посвящена Золотому Сечению. Вот ее краткий набросок: «Форма и организация (Понятие формы. Целое. Divins sectio. Золотое сечение. Целое во времени. Организация времени. Циклы развития. Signatura rerum. Формула формы). По существу в работах Флоренского впервые поставлен вопрос о рассмотрении золотого сечения как структурного инварианта природных систем. Ставилась задача вывести состояния устойчивости целого, находящегося в поле действия противоположно ориентированных сил.

Алексей Федорович Лосев родился 23 сентября 1893 года в столице области Войска Донского — Новочеркасске, в семье народного учителя. Обучался в Новочеркасской гимназии, которую закончил с золотой медалью в 1911 году и поступил в Московский Университет. Еще в гимназии Алексей Федорович увлекся сочинениями Платона, Вл. Соловьева. Обучаясь в Московском университете на отделениях классической филологии и философии, часто посещает Религиозно-философское и Психологическое общества. Оканчивает университет в 1915 году, а уже в 1919 году избирается профессором Нижегородского университета.
В 1929 году Лосев принимает тайный постриг под именем Андроника. Пишет книги «Философия имени» (1927) и «Диалектика мифа» (1930), за которые подвергается жесткой критике (от «разгромных» статей в советской прессе, до критики Кагановичем с трибуны XVI съезда ВКП(б)). В 1930 году Лосев вместе с супругой подвергается аресту и осуждается на 10 лет лагерей (жена на 5 лет) по сфабрикованному делу о так называемом Церковном монархическом центре «Истинно-православная церковь». Лагерное начальство определяет его сторожем на дровяной склад, рассудив, что от больного туберкулезом, полуслепого философа на стройке толку будет не много. К 1933 году почти ослепшего Алексея Федоровича освобождают в связи с инвалидностью и ударным трудом по завершению строительства Беломорканала. С Лосевых снимают судимость и разрешают жить в Москве.
После лагеря Лосев несколько лет преподавал в различных учебных заведениях. В 1943 году по совокупности работ ему присваивается звание доктора филологических наук.

Лишь после смерти Сталина Лосев получает возможность публиковать свои работы, хотя публикация каждой работы всегда будет сопровождаться различными сложностями и затяжками, они не останавливают Алексея Федоровича — к концу жизни общая библиография его научных работ насчитывает около 650 наименований (прижизненно — около 450). Главным трудом жизни Лосева станет 10-томник «История античной эстетики». При жизни автора вышло 6 томов, за которые в 1986 году он был удостоен Государственной премии.
Алексей Федорович Лосев скончался 24 мая 1988 года.

Большое внимание Лосев в своих трудах уделил золотому сечению. Широко известно следующее его высказывание, касающееся роли золотого сечения в античной науке: «С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления — Золотого Сечения... Их (древних греков) систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьезный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия».

«Учение о ноосфере» В.И. Вернадского. По широте научного кругозора и разнообразию научных открытий Владимир Иванович Вернадский стоит, пожалуй, особняком среди других великих естествоиспытателей 20-го столетия. Молекулярные кристаллические структуры, планетарные геохимические оболочки, история минералов и геосфер, движение химических элементов Земли, геологическая роль «живого вещества» в истории планеты, учение о ноосфере — таков в кратком перечислении круг научных интересов ученого-мыслителя, идеи которого приобретают со временем все большую актуальность. За последние сто лет науки преимущественно обособлялись, дробились, рождались. Вернадский, как мы знаем, не считался с границами отдельных наук, объединял различные области знания (геохимию с биологией, геологию с экономикой, историю науки с естествознанием и т. д.). Проводя специальные научные исследования, он был в то же время философом, историком, организатором науки, касался проблем морали, человеческой личности, свободы и справедливости. Как подчеркивает Олег Боднар в своей статье [7], «сравнительно недавно – в начале ХХ столетия, В.И.Вернадским была выдвинута великая идея – идея ноосферы. Ее глубина и важность начинает осознаваться только сегодня, когда человечество стало ощущать опасность глобальной катастрофы. И это не преувеличение. Идея философии ноосферы, предложенная В.И.Вернадским, не что иное, как идея нового мировоззрения, лишь поворот к которой в начале ХХІ века даст человечеству шанс на продолжение жизни, развитие ее в направлении разумного взаимодействия с природой. Идея гармонии, по мнению современных апологетов философии ноосферы – центральная идея нового мировоззрения. Таков реальный контекст обсуждаемого в нашей статье предложения о внедрении теории гармонии в систему образования, понимаемого нами как конкретный шаг на пути «движения к ноосфере».

3. Эволюция Золотого Сечения

Истоки сведений о Золотом Сечении

Как подчеркивает Олег Боднар [7], в античной науке идея золотого сечения «с самого начала сознательно связывается с понятием гармонии. В толковании древних греков эти два понятия, две идеи, в сущности, идентичны. Золотое сечение, представляемое, как результат деления отрезка в т.н. среднем и крайнем отношении, рассматривается ими как образная иллюстрация гармонии, как геометрическая интерпретация взаимосвязи целого и его частей».

Как свидетельствуют археологические данные, история «Золотого Сечения» уходит вглубь тысячелетий. Весьма интересная информация по этому поводу содержится в брошюре «Феномен Древнего Египта» [74], написанной известным российским архитектором Игорем Шмелевым. Книга посвящена расшифровке так называемых «Панелей Хеси-Ра», извлеченных в начале 20-го века из захоронения известного египетского архитектора Хеси-Ра. Проведя анализ этих панелей, Шмелев пришел к заключению, что «панели Хеси-Ра – это система правил гармонии, кодированная языком геометрии». Свой анализ Шмелев завершает следующими словами:

«Итак, в наших руках конкретные вещественные доказательства, «открытым текстом» повествующие о высочайшем уровне абстрактного мышления интеллектуалов из Древнего Египта. Автор, резавший доски, с изумительной точностью, ювелирным изяществом и виртуозной изобретательностью продемонстрировал правило ЗС (золотого сечения) в его широчайшем диапазоне вариаций. В результате была рождена ЗОЛОТАЯ СИМФОНИЯ, представленная ансамблем высокохудожественных произведений, не только свидетельствующих о гениальной одаренности их создателя, но и убедительно подтверждающих, что автор был посвящен в магические таинства гармонии. Этим гением был Золотых Дел Мастер по имени Хеси-Ра».

Таким образом, по мнению Шмелева в Древнем Египте существовала «система правил гармонии», основанная на Золотом Сечении. Эту систему правил и можно считать исторически первой «Теорией гармонии».

Тела Платона и Архимеда

Мощный импульс в развитии Золотого Сечения и его приложений дала греческая наука. В Древней Греции Золотое Сечение становится своеобразным каноном древнегреческой культуры, который пронизывает все сферы науки и искусства. Следует отметить, что строгая геометрическая формулировка знаменитой «задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (так в древности называлась «задача о Золотом Сечении») впервые дана в Началах Евклида. Там же, а именно в 13-й, то есть заключительной книге своих Начал, Евклид изложил теорию Платоновых тел, которая является существенным разделом геометрической теории Золотого Сечения, так как два главных Платоновых тела, додекаэдр и икосаэдр, основаны на Золотом Сечении. Кстати, этот факт, то есть размещение теории правильных многогранников в заключительной (то есть как бы самой главной) книге Начал Евклида, дало основание древнегреческому математику Проклу, который был комментатором Евклида, выдвинуть интересную гипотезу об истинных целях, которые преследовал Евклид, создавая свои Начала. Согласно Проклу, Евклид создавал Начала не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения «идеальных» фигур, в частности пяти Платоновых тел, попутно осветив некоторые новейшие достижения математики!

Икосаэдр и додекаэдр

Известно еще множество других совершенных тел, получивших название полуправильных многогранников илиАрхимедовых тел. У них также все многогранные углы равны и все грани – правильные многоугольники, но несколько разных типов. Существует 13 полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду. Наиболее интересным из них считается усеченный икосаэдр, который конструируется из Платонового икосаэдра следующим образом.

Конструирование Архимедового усеченного икосаэдра из Платонового икосаэдра

Если у каждой вершины икосаэдра отрезать (отсечь) 12 частей икосаэдра плоскостью, то образуется 12 новых пятиугольных граней. Вместе с уже имеющимися 20 гранями, превратившимися после такого отсечения из треугольных в шестиугольные, они составят 32 грани усеченного икосаэдра. При этом ребер будет 90, а вершин 60.

Числа Фибоначчи

В 13-м веке знаменитый итальянский математик Фибоначчи при решении «задачи о размножении кроликов» открывает широко известную числовую последовательность Фибоначчи

n-й член которой задается следующим рекуррентным соотношением:

При начальных членах

рекуррентное соотношение (2) порождает ряд Фибоначчи (1).

«Божественная пропорция» Луки Пачоли

Огромный вклад в развитие «Теории Золотого Сечения» внес знаменитый итальянский математик и ученый монах Лука Пачоли (1445-1517), друг и советник Леонардо да Винчи. В эпоху Возрождения Лука Пачоли пишет первое в истории науки математическое сочинение о Золотой Пропорции, названное им «De Divina Proportione» («О Божественной Пропорции») и опубликованное в 1509 г. Книга состоит из трех частей: в первой части излагаются свойства золотого сечения, вторая часть посвящена правильным многогранникам, третья – приложениям золотого сечения в архитектуре. В этой книге Пачоли, апеллируя к «Государству», «Законам», «Тимею» Платона, последовательно выводит 12 (!) различных свойств золотого сечения. Характеризуя эти свойства, Пачоли пользуется весьма сильными эпитетами: «исключительное», «превосходнейшее», «замечательное», «почти сверхъестественное» и т.п. Раскрывая данную пропорцию в качестве универсального отношения, выражающего и в природе и в искусстве совершенство красоты, он называет ее «божественной» и склонен рассматривать ее как «орудие мышления», «эстетический канон», «как принцип мира и природы». Эта книга является одним из первых математических сочинений, в котором христианская доктрина о Боге как творце Вселенной получает научное обоснование. Пачоли называет золотое сечение «божественным» и выделяет ряд свойств золотой пропорции, которые, по его мнению, присущи самому Богу.

Леонардо да Винчи и Золотое Сечение

Каждый образованный человек независимо от того, какую профессию он избрал, знает или хотя бы слышал об одном из самых замечательных периодов в истории человечества, об эпохе Ренессанса – великом времени Возрождения. Эпоха Возрождения ассоциируется с именами таких «титанов», как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Рафаэль, Николай Коперник, Альберт Дюрер, Лука Пачоли. И первое место в этом списке по праву занимает Леонардо да Винчи, величайший художник, инженер и ученый эпохи Возрождения. Как подчеркивает в своих «Жизнеописаниях» знаменитый итальянский историк искусства, архитектор и художник Джорджо Вазари, «...дивным и божественным был Леонардо, сын Пьеро из Винчи, и он достиг бы великих итогов в науках и письменности, не будь он таким многосторонним и непостоянным».

Имеется много авторитетных свидетельств о том, что именно Леонардо да Винчи был одним из первых, кто ввел сам термин «Золотое Сечение». Белорусский философ Эдуард Сороко, который считается одним из наиболее авторитетных ученых в области «Теории гармонии и Золотого Сечения», в своей замечательной книге «Структурная гармония систем» [75] пишет по этому поводу следующее: «Термин «золотое сечение» (aurea sectio) идет от Клавдия Птолемея, который дал это название числу 0,618, убедившись в том, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком отношении. Закрепился же данный термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал».

Доказано, что во многих своих произведениях Леонардо да Винчи использовал пропорции золотого сечения, в частности, в своей всемирно известной фреске «Тайная вечеря» и непревзойденной «Джоконде».

Для самого Леонардо да Винчи искусство и наука были связаны неразрывно. Отдавая в «споре искусств» пальму первенства живописи, Леонардо да Винчи понимал её как универсальный язык (подобный математике в сфере наук), который воплощает посредством пропорций и перспективы все многообразные проявления разумного начала, царящего в природе. Важнейшим источником для изучения воззрений Леонардо да Винчи по теории искусства являются его записные книжки и рукописи (около 7 тыс. листов). Сам Леонардо не оставил систематического изложения своих мыслей. «Трактат о живописи», составленный после смерти Леонардо да Винчи его учеником Ф. Мельци и оказавший огромное влияние на европейскую художественную практику и теоретическую мысль, состоял из отрывков, во многом произвольно извлечённых из контекста его записок. В «Трактате о живописи» излагаются сведения о пропорциях. В эпоху Возрождения математическое понятие — «Золотая Пропорция» было возведено в ранг главного эстетического принципа. Разрабатывая правила изображения человеческой фигуры, Леонардо да Винчи пытался на основе литературных сведений древности восстановить так называемый «квадрат древних». Он выполнил рисунок, в котором показано, что размах вытянутых в сторону рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и в круг («Витрувийский человек» Леонардо да Винчи).

Но наиболее ярким свидетельством огромной роли Леонардо да Винчи в развитии теории Золотого Сечения является его влияние на творчество выдающегося итальянского математика эпохи Возрождения Луки Пачоли, с которым он сблизился в Милане. Считается, что именно под влиянием Леонардо да Винчи Лука Пачоли начинает писать свою знаменитую книгу «О божественной пропорции». Для этой книги Леонардо сделал иллюстрации. Об авторстве Леонардо сохранилось свидетельство самого Пачоли: «...таковые были сделаны достойнейшим живописцем, перспективистом, архитектором, музыкантом и всеми совершенствами одаренным Леонардо да Винчи, флорентийцем, в городе Милане...»

Таким образом, несомненно, что именно Леонардо да Винчи более чем кто-либо своими исследованиями способствовал тому, чтобы «Золотое Сечение» вошло в культуру Возрождения и стало ее главным эстетическим каноном. Есть все основания назвать Леонардо «крестным отцом» Золотого Сечения в европейской культуре. Именно Леонардо да Винчи, а вслед за ним Лука Пачоли, возможно, первыми в истории науки поняли роль этой уникальной пропорции в структурах Природы.

Вклад Кеплера в теорию Золотого Сечения

Гениальный астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) был последовательным приверженцем Золотого Сечения, Платоновых тел и Пифагорейской доктрины о числовой гармонии Мироздания. Свое восхищение Золотым Сечением Кеплер выразил в словах:

«В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

Считается, что именно Кеплер обратил внимание на ботаническую закономерность филлотаксиса и установил связь между числами Фибоначчи и золотой пропорцией, доказав, что последовательность отношений соседних чисел Фибоначчи:

в пределе стремится к золотой пропорции, то есть

Формула Кассини

В 17-м веке числа Фибоначчи привлекают внимание многих знаменитых ученых. Именно в этот период современник Кеплера, известный астроном Джованни Кассини (1625-1712) доказывает замечательное тождество, связывающее три соседних числа Фибоначчи:

Формула (6) называется формулой Кассини [65]. Эта удивительная формула вызывает благоговейный трепет, если представить себе, что она справедлива для любого значения n=0, ± 1, ± 2, ± 3, …, и истинное эстетическое наслаждение, потому что чередование +1 и –1 в указанном выше математическом выражении при последовательном прохождении всех чисел Фибоначчи от -JPY до +JPY вызывает неосознанное чувство ритма и гармонии.

Кеплер завершает эпоху «научного романтизма», характерного для эпохи Возрождения, эпоху гармонии и золотого сечения. Но с другой стороны, его научные сочинения стали началом новейшей науки, развитие которой началось с трудов Рене Декарта, Галилео Галилея и Исаака Ньютона.

Со смертью Кеплера забывают о золотом сечении, одном из «сокровищ геометрии», которое Кеплер поставил в один ряд с теоремой Пифагора. И это странное забвение продолжается почти два столетия. Интерес к золотому сечению вновь возрождается только в 19-м столетии.

Вклад Люка в теорию Золотого Сечения

Начиная с 19 в., математические работы, посвященные свойствам чисел Фибоначчи, по остроумному выражению одного математика «начали размножаться как фибоначчиевые кролики». Лидером этих исследований в 19-м веке стал французский математик Люка (1842-1891). Заслуга Люка перед теорией чисел Фибоначчи состоит в том, что он впервые ввел в широкое употребление само название числа Фибоначчи и кроме того ввел в рассмотрение так называемые обобщенные числа Фибоначчи, описываемые следующей рекуррентной формулой:

В зависимости от начальных членов G(1), G(2) рекуррентная формула (7) порождает бесконечное количество числовых последовательностей, подобных классическим числам Фибоначчи (1). Из всех возможных последовательностей, порождаемых (7), наибольшее применение получили две числовые последовательности – числа Фибоначчи F(n), задаваемые (2), (3) и так называемые числа Люка L(n) , которые задаются следующим рекуррентным соотношением:

при начальных значениях:

.

Тогда, используя рекуррентную формулу (8) и начальные условия (9), мы можем вычислить числовую последовательность, называемую числами Люка:

...

Формулы Бине

В 19-м веке было сделано одно из наиболее важных математических открытий в области «Теории Золотого Сечения», а именно, открыты две математические формулы, связывающие золотую пропорцию t с числами Фибоначчи и Люка:

Эти формулы широко известны и называются формулами Бине в честь французского математика 19-го века Жака Филлипа Мари Бине (1786 — 1856), который первым вывел эти формулы.

Анализ формул (11), (12) дает нам возможность ощутить истинное «эстетическое наслаждение» и еще раз убедиться в мощи человеческого разума. Действительно, ведь мы знаем, что числа Фибоначчи и числа Люка всегда являются целыми числами. С другой стороны, любая степень золотой пропорции является иррациональным числом. Отсюда вытекает, что целые числа F(n) и L(n)с помощью формул (11), (12) выражаются через степени золотой пропорции, которые являются иррациональными числами.

Например, число Люка 3 (n=2) согласно (12) может быть представлено как сумма двух иррациональных чисел:

,

а число Фибоначчи 5 (n=5) согласно (11) может быть выражено следующим образом:

,

то есть, представляет собой сумму двух иррациональных чисел, деленную на иррациональное число .

Из исследователей 19-го века необходимо отметить работы немецкого ученого Цейзинга, который в своих «гармонических» исследованиях вновь открывает «Закон Золотого Сечения», называя его «Законом Всеобщей Пропорциональности». На рубеже 19-го и 20-го веков создатель психофизики Фехнер проводит свои знаменитые «Опыты Фехнера», которые убедительно показывают предпочтение «Золотой Пропорции» в психофизической деятельности человека.

Развитие Золотого Сечения и его приложений в первой половине 20-го века

В 20-м веке интерес к золотому сечению возрастает с новой силой, прежде всего в искусствоведческой сфере. В первой половине 20-го века были опубликовано ряд важных статей и книг, показывающих фундаментальную роль Золотого Сечения в структурах Природы и Искусства. В 1925 г. российский музыковед Сабанеев опубликовал статью «Этюды Шопена в освещении золотого сечения». В этой статье он показывает, что отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые так называемыми «кульминационными событиями», или «вехами», как правило, находятся в соотношении золотого сечения. Анализ огромного числа музыкальных произведений позволил Сабанееву сделать вывод о том, что организация музыкального произведения построена так, что его кардинальные части, разделенные «вехами», образуют ряды золотого сечения. Такая организация произведения соответствует наиболее экономному восприятию массы отношений в музыкальном произведении и поэтому производит впечатление наивысшей «стройности» формы. По мнению Сабанеева, количество и частота использования золотого сечения в музыкальной композиции зависит от «ранга композитора». Наиболее высокий процент совпадений отмечается у гениальных композиторов, то есть «интуиция формы и стройности, как это и следует ожидать, наиболее сильна у гениев первого класса».

По наблюдениям Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, сопряженное с происходящим возле него «эстетическим событием», а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%, Шуберта (91%) и др.

В 1935 г. российский профессор архитектуры Г.Д. Гримм опубликовал книгу «Пропорциональность в архитектуре» [76]. Цель книги сформулирована во «Введении» следующим образом: «Ввиду исключительного значения золотого сечения в смысле такого пропорционального деления, которое устанавливает постоянную связь между целым и его частями, и дает постоянное между ними соотношение, недостигаемое никаким другим делением, схема, основанная на нем, выдвигается как нормативная на первое место и принята нами в дальнейшем как при проверке основ пропорциональности исторических памятников, так и современных сооружений... Считаясь с этим общим значением золотого сечения во всех проявлениях архитектурной мысли, теорию пропорциональности, основанную на делении целого на пропорциональные части, отвечающие членам геометрической прогрессии золотого сечения, следует признать основой архитектурной пропорциональности вообще».

Гримм анализирует огромное количество памятников архитектуры различных эпох и различных стилей и убедительно показывает наличие в них золотого сечения.

Большую известность получила книга французского исследователя Матилы Гика «Эстетика пропорций в Природе и Искусстве». На русском языке эта книга была опубликована в 1936 г. [77]. Как и Гримм, Гика рассматривает в книге проблему архитектурных пропорций с геометрической точки зрения и развивает так называемую «эстетическую геометрию». Он анализирует линейные пропорции, правильные и полуправильные многоугольники и многогранники, а также различные точечные решетки, составляющие основу кристаллографии.

В первой половине 20-го века «Принцип Золотого Сечения» получает неожиданное применение в экономической науке. В этот период американский бухгалтер и экономист Ральф Эллиотт развил оригинальную теорию, которая имеет отношение к колебанием цен на фондовом рынке. Эти исследования получили в современной науке название Волны Эллиотта. По мнению Эллиотта, человек является природным объектом ничуть не меньше, чем Солнце или Луна, и его деятельность, выраженная языком цифр, также является предметом анализа. Человеческая деятельность, хотя и является поразительной по своей сути, при рассмотрении с точки зрения ритмических процессов содержит точный и понятный ответ на некоторые наши самые ошеломительные проблемы. Основная идея Эллиотта выражена в следующих словах: «Все человеческие действия имеют три особенности, модель, время и отношение, все они подчиняются числам Фибоначчи».

Брошюра Н.Н. Воробьева «Числа Фибоначчи»

Во второй половине 20-го века возрастает интерес к числам Фибоначчи и Золотого Сечения в математике.Огромное влияние на привлечение интереса математиков к этой проблеме оказала небольшая брошюра русского математика Н.Н. Воробьева «Числа Фибоначчи» [78], первое издание которой вышло в 1961 г. Брошюра выдержала большое количество изданий и переведена на многие языки мира.

Брошюра «Числа Фибоначчи», подаренная Н.Н. Воробьевым А.П. Стахову

Фибоначчи-ассоциация

Однако проф. Воробьев был не единственным математиком, кто почувствовал приближение эры «глобальной фибоначчизации» современной науки. В 1963 г. по инициативе американского математика Вернера Хоггата (Verner Emil Hoggatt) в США была создана математическая Фибоначчи Ассоциация, которая с 1963 г. начала издавать ежеквартальный математический журнал The Fibonacci Quarterly. Основателями Фибоначчи Ассоциации были два американских ученых: математик Вернер Хоггат (Verner Emil Hoggatt) (1921-1981) и ученый монах Альфред Бруссау (Alfred Brousseau) (1907-1988). 4-го апреля 1969 г. журнал «TIME» сообщил о феноменальном росте Фибоначчи Ассоциации. В этом же году издательство «Houghton Mifflin» опубликовало книгу Вернера Хоггата «Fibonacci and Lucas Numbers» [79], которая до сих пор считается одной из лучших книг в этой области. Вернер Хоггат внес большой вклад в популяризацию исследований в области чисел Фибоначчи. Его последователи отмечают его продолжительную и, несомненно, выдающуюся работу профессором в San Jose State University. Он руководил огромным количеством магистерских диссертаций и написал большое число статей по проблеме чисел Фибоначчи. В 1989 г. английский математик проф. Стефан Вайда опубликовал книгу [80], которая до настоящего времени считается одной из лучших западных публикаций в этой области.

Славянская «золотая» группа

Как упоминалось, брошюра проф. Воробьева «Числа Фибоначчи», первое издание которой вышло в 1961 г., стала настольной книгой многих советских (и не только советских) ученых. Брошюра привлекла внимание мировой научной общественности к проблеме чисел Фибоначчи и Золотого Сечения и стимулировала исследования в этой области. В этой связи необходимо отметить научные исследования известного советского архитектора Иосифа Шевелева, который своими книгами «Геометрическая гармония» (1963 г.), «Логика архитектурной гармонии» (1973 г.) привлек внимание к проблеме Золотого Сечения в искусствоведческой сфере.

В 1977 г. издательство «Советское Радио» (Москва) опубликовало книгу А.П. Стахова «Введение в алгоритмическую теорию измерения» [8], а в 1979 г. издательство «Знание» (Москва) опубликовало брошюру А.П. Стахова «Алгоритмическая теория измерения» [9] в престижной серии «Математика и кибернетика». В этих книгах была изложена теория оптимальных алгоритмов измерения, основанных на числах Фибоначчи, введено понятие обобщенных чисел Фибоначчи, вытекающих из треугольника Паскаля, и разработана оригинальная «арифметика Фибоначчи», которая стала основой для проекта «Компьютер Фибоначчи», который начал активно разрабатываться в советской науке.

Выдающемуся венгерскому геометру Яношу Больяи, одному из создателей неевклидовой геометрии, принадлежат следующие замечательные слова: «Для идей, как и для растений, настает время, когда они созревают в разных местах, подобно тому, как весной фиалки появляются везде, где светит солнце».

Истории науки еще предстоит ответить на вопрос, почему именно 80-е и 90-е годы 20-го столетия стали тем историческим периодом, когда в особенно концентрированном виде проявился интерес к проблеме чисел Фибоначчи и золотого сечения. Именно в этот период ученые различных научных направлений выдвинули гипотезы, связанные с использованием золотой пропорции и сделали открытия, которые имеют фундаментальное значение для развития как науки в целом, так и отдельных ее отраслей.

Наиболее результативным для Золотого Сечения оказался 1984-й год. В 1984 г. были опубликованы две важные книги, посвященные Золотому Сечению. Белорусский философ Эдуард Сороко в своей книге «Структурная гармония систем» [75] делает смелую попытку возродить в современной науке пифагорейскую идею о числовой гармонии мироздания и формулирует так называемый «закон структурной гармонии систем», математическая сущность которого выражается с помощью понятия «золотого р-сечения», которое является обобщением классического золотого сечения. В этом же году была опубликована книга А.П. Стахова «Коды золотой пропорции» [10], в которой на основе понятия «золотого р-сечения» делается попытка создать новые информационные и арифметические основы компьютеров. Заметим, что в 1984 г. значительно активизирует свою деятельность Фибоначчи Ассоциация, которая в этом году провела свою 1-ю Международную конференцию по числам Фибоначчи и их приложениям. Начиная с этого года, проведение этой знаменитой математической конференции становится регулярным (один раз в 2 года).

Еще через год (1985 г.) опубликована книга русского искусствоведа Н.А. Померанцевой «Эстетические основы искусства Древнего Египта», в которой достаточно убедительно показана роль золотого сечения в культуре Древнего Египта. 1986 г. ознаменовался публикацией трех книг по золотому сечению. Иосиф Шевелев опубликовал книгу «Принцип пропорции». В Польше опубликована книга польского ученого и журналиста Яна Гржездельского «Энергетично-геометрический код природы». В этой книге, возможно, впервые сделана попытка раскрыть физический смысл золотой пропорции как главного кода природы, как пропорции термодинамического равновесия самоорганизующихся систем. В этом же году преподаватель Киевского государственного художественного института Ф.В. Ковалев опубликовал учебное пособие для художников «Золотое сечение в живописи».

Начало 90-х годов ознаменовалось публикацией двух книг по золотому сечению. Первая из них «Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии» (1990 г.) написана тремя авторами, представителями искусства: архитектором И.Ш. Шевелевым, композитором М.А. Марутаевым и архитектором И.П. Шмелевым. Как утверждается в аннотации, «книга посвящена теоретическому обоснованию феномена золотого сечения, в котором авторы видят одну из универсальных закономерностей гармонии».

Значительным событием 1990-го года в области золотого сечения является публикация научно-популярной книги «Золотая пропорция», написанной украинским ученым Н.А. Васютинским, который по образованию и опыту работы является химиком, геологом, металлургом и машиностроителем. В книге, написанной с большим мастерством, «описано проявление закономерностей золотой пропорции в архитектуре, музыке, поэзии, а также в химии, биологии, ботанике, геологии, астрономии, технике».

К началу 90-х годов стало ясно, что в славянской науке (Украина, Россия, Белоруссия, Польша) сформировалась группа активно работающих ученых — представителей различных наук и искусств, авторов весьма оригинальных публикаций в области золотого сечения. Возникла идея собрать воедино всех этих ученых и создать некоторое научное сообщество «золотоискателей». По инициативе А.П. Стахова в Киеве в 1992 г. состоялся 1-й Международный семинар «Золотая пропорция и проблемы гармонии систем». Активными участниками семинара и членами организационного комитета стали: белорусский философ доктор философских наук Э.М. Сороко (Минск), украинский архитектор, доктор искусствоведения О.Я. Боднар (Львов), украинский экономист доктор экономических наук И.С. Ткаченко, русский механик доктор технических наук В.И. Коробко (Ставрополь), представитель украинской медицинской науки, доктор медицинских наук П.Ф. Шапаренко (Винница), украинский химик кандидат химических наук Н.А. Васютинский (Запорожье), польский ученый и журналист Ян Гржездельский. Эта группа ученых и составила костяк неформального объединения славянских ученых, названного «Славянской «золотой» группой».

В 1993 г. в Киеве состоялся 2-й Международный семинар по этой проблеме, а затем (по инициативе В.И. Коробко) он продолжил свою работу в Ставрополе в 1994, 1995 и 1996 годах. Семинар оказал большое влияние на активизацию исследований в области золотого сечения, и членами «золотой» группы в 90-е годы было опубликовано ряд книг. На семинаре в Киеве все участники были проинформированы о публикации весьма интересной брошюры «Феномен Древнего Египта» архитектора Игоря Шмелева, опубликованной в 1993 г.[74]. Брошюра посвящена анализу рисунков на панелях, извлеченных из захоронения легендарного египетского архитектора Хеси-Ра«, который считается главным архитектором комплекса Египеских пирамид в Гизе. Основной вывод – рисунки на этих панелях построены на основе Золотого Сечения!

В 1994 г. опубликована книга О.Я. Боднара «Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве» [82]. Главным результатом книги явилась новая геометрическая теория филлотаксиса (закон преобразования спиральных биосимметрий), разработанная Боднаром.

В 1996 г. вышла в свет книга проф. Субботы (Санкт-Петербург) «Золотое сечение» («Sectio Aurea») в медицине». В книге «показана универсальность проявления золотого сечения (ЗС) в строении органов и систем, а также в их функциональных параметрах. Установлены величины отклонений от ЗС при воздействии на организм неблагоприятных факторов среды и при некоторых заболеваниях.

Весьма плодотворным для Золотого Сечения оказался 1997 год. В этом году литература по золотому сечению пополнилась тремя книгами, написанными славянскими учеными. Книга проф. В.И. Коробко, активного члена «Славянской «золотой» группы», называется «Золотая пропорция и проблемы гармонии систем» (1997 г.), чем подчеркивается непосредственное связь с Международными научными семинарами с аналогичным названием, проведенными в Киеве (1992 г., 1993 г.) и затем в Ставрополе (1994-1996 гг.). Книга содержит обширный материал, свидетельствующий о проявлении золотого сечения в разнообразных областях природы, науки и искусства. Особенность книги состоит в том, что она может служить учебным и научно-методическим пособием для преподавателей, аспирантов и студентов технических и гуманитарных вузов по курсам «Основы гармонии систем», «Философия», «Культурология», «Этика и эстетика», науках о человеке. Книга рекомендована Ассоциацией строительных вузов стран СНГ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений. В 1997 г. российский биолог В.Д. Цветков опубликовал книгу «Сердце, золотое сечение и симметрия». Книга является итогом многолетних исследований автора в области выяснения роли золотого сечения в сердечной деятельности млекопитающих. В книге «установлено множество золотых сечений в различных структурах сердечного цикла. Показана роль золотого сечения и чисел Фибоначчи в оптимизации деятельности сердца (минимизация затрат энергии, крови, мышечного и сосудистого вещества). Наконец, еще одной книгой в области золотого сечения, вышедшей в свет в 1997 г., является книга А.П. Стахова «Computer arithmetic based on Fibonacci numbers and Golden Section: new information and arithmetic computer foundations» [13]. Книга является дальнейшим развитием предыдущих книг автора «Введение в алгоритмическую теорию измерения» (1977) и «Коды золотой пропорции» (1984), направленных на разработку «нетрадиционных арифметик» для компьютеров будущих поколений. Новым результатом в книге является разработанная автором так называемая «троичная зеркально-симметричная арифметика». Из последних публикаций автора необходимо отметить книгу «Introduction into Fibonacci coding and cryptography» [14], опубликованную А.П. Стаховым в соавторстве с В. Массинга (Мозамбик) и А.А. Слученковой (Канада) в 1999.

В конце 20-го века в области Золотого Сечения появляются новые имена. Здесь можно отметить комплекс исследований в области применения Золотого Сечения в электросвязи, выполненные кандидатами технических наук Сергеем Ясинским (Санкт-Петербург) и Николаем Семенютой (Гомель). Ясинский опубликовал следующие книги: «Золотая пропорция в электросвязи» (1999), «От пирамиды Хеопса к системе «золотых» пирамид» (2001), «Прикладная «золотая» математика и ее приложения в электросвязи» (2003), Семенюта – книгу «Золотая пропорция в природе и искусстве» (2002). Оригинальный взгляд на природу поэтического творчества изложил доктор филологических наук профессор Олег Гринбаум (Санкт-Петербург) в книге «Гармония строфического ритма в эстетико-формальном измерении» (2000). Огромный интерес в этой области вызвала прекрасно изданная книга доктора философских наук профессора Александра Волошинова «Математика и Искусство» [73]. В этот период не отстают от молодых исследователей и признанные «корифеи» в этой области. Иосиф Шевелев опубликовал в 2000 г. книгу «Метаязык живой природы», а в 2002 г. – брошюру «О целостности, зеркальной симметрии и числе единица». Московский математик Анатолий Харитонов в 2004 г. опубликовал книгу «Симметрия хаоса и порядка в круговороте энергии», в которой изложена «холистическая парадигма триединства природы, человека и общества», основанная на Золотом Сечении.

Международная конференция «Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве»

Как известно, первый век 21-го столетия является «Веком Гармонии». Начало этого века характеризуется широким использованием всемирной информационной сети «Интернет» для распространения научных знаний. Уникальные возможности, представленные Интернетом, привели к появлению огромного количества сайтов, посвященных Золотому Сечению. Одним из них стал сайт «Музей Гармонии и Золотого Сечения» [56] (авторы сайта Алексей Стахов и Анна Слученкова). Особенность сайта состояла в том, что он был создан на двух языках – русском и английском, то есть он стал своеобразным связующим звеном между русскоязычными и англоязычными исследователями, работающими в области золотого сечения.

Еще одним событием, стимулировавшим проведение Международной конференции по Золотому Сечению, стала лекция «Новый тип элементарной математики и компьютерной науки, основанных на Золотом Сечении», прочитанная А.П. Стаховым 29-го мая 2003 г. в Московском университете обширной лекцией на совместном заседании двух весьма престижных научных семинаров, семинара «Геометрия и Физика» кафедры теоретической физики Московского университета (научный руководитель – проф. Юрий Владимиров) и Междисциплинарного семинара «Симметрии в науке и искусстве» при Институте машиноведения РАН (научные руководители – академик Фролов К. Б., к.т.н. Евин И. А., д.ф.-м.н. Петухов С.В. и д.ф.-м.н. Смолянинов В.В.). Успех лекции Стахова стал основной причиной идеи провести Международную конференцию «Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве». Конференция была проведена в Виннице с 22-го по 25-е октября на базе Винницкого аграрного университета, где проф. Стахов в тот период возглавлял кафедру экономической кибернетики и информатики. Большую роль в проведении Конференции сыграл ректор Винницкого аграрного университета профессор Леонид Середа, члены ректората университета и кафедра экономической кибернетики и информатики. Несмотря на существующие экономические трудности, многие выдающиеся ученые Украины, России и Белоруссии приняли участие в работе Конференции. Конференция вызвала настолько широкий резонанс на Украине, что ведущие газеты Украины («Зеркало Недели», «Винниччина», «Подолия», «33-й канал» и др.) опубликовали обширные статьи по результатам работы конференции.

Конференция отметила выдающийся вклад славянской науки в развитии теории Золотого Сечения и чисел Фибоначчи и их приложений и наметила пути развития этой теории. На Конференции был организован Международный Клуб Золотого Сечения, в состав которого вошли выдающиеся представители славянской науки.

Таким образом, «Теория чисел Фибоначчи и Золотого Сечения» является итогом многотысячелетних усилий выдающихся мыслителей и ученых, начиная с Пифагора, Евклида, Луки Пачоли, Кеплера и заканчивая современными учеными Воробьевым, Хоггаттом, Шевелевым, Сороко, Боднаром, Васютинским, Коробко и многими другими.

4. Уникальные математические свойства Золотой Пропорции

Как известно, золотая пропорция t = является положительным корнем следующего квадратного уравнения:

Заметим, что очень часто золотую пропорцию обозначают также греческой буквой F (число PHI). Эта буква является первой буквой в имени знаменитого греческого скульптора Фидия (Phidius), который широко использовал золотое сечение в своих скульптурных произведениях.

Если корень t подставить вместо x в уравнение (1.2), то мы получим следующее замечательное тождество для золотой пропорции:

Если все члены тождества (14) разделить на t, то мы придем к следующему выражению для t:

которое может быть представлено и в следующем виде:

Если в правую часть выражения (1.4) вместо t подставить его значение, задаваемое тем же выражением (1.4), то мы придем к представлению t в виде следующей «многоэтажной» дроби:

.

Если продолжить такую подстановку в правой части бесконечное число раз, то в результате получим «многоэтажную» дробь с бесконечным количеством «этажей»:

Представление (17) в математике называется непрерывной или цепной дробью.

Рассмотрим теперь еще раз тождество (14). Если взять корень квадратный из правой и левой частей тождества (14), то получим следующее выражение для t:

Если теперь в правой части выражения (18) вместо t подставить его же выражение, задаваемое (18), то получим следующее:

Если в правой части тождества (19) опять подставить выражение (18) вместо t и повторить эту операцию бесконечное число раз, то мы получим еще одно замечательное представление золотой пропорции в «радикалах»:

Каждый математик интуитивно стремится выразить свои математические результаты в наиболее простой, компактной форме. И если такую форму удается найти, то это доставляет математику «эстетическое наслаждение». В этом отношении (стремление к «эстетическому» выражению математических результатов) математическое творчество подобно творчеству композитора или поэта, главной задачей которых является получение совершенных музыкальных или поэтических форм, доставляющих «эстетическое удовольствие». Заметим, что формулы (17) и (20) доставляют нам «эстетическое наслаждение» и вызывают неосознанное чувство ритма и гармонии, когда мы начинаем задумываться над бесконечной повторяемостью одних и тех же простых математических элементов в формулах для t, задаваемых (17), (20).

Если теперь взять за основу тождество (14) и затем умножить многократно члены тождества (14) на t , а затем разделить многократно члены тождества (14) на t и устремить этот процесс до бесконечности, то мы придем к следующему изящному тождеству, связывающему степени золотой пропорции:

где число n является целым и пробегает значения в пределах от +JPY до -JPY, то есть n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Тождество (21) словесно можно выразить следующим образом: «Любая целая степень золотой пропорции равна сумме двух предыдущих». Оно часто называется «свойством аддитивности» золотой пропорции.

Но с другой стороны, любая степень золотой пропорции связана с предыдущей степенью «мультипликативным соотношением», то есть,

>.

Это свойство называют «свойством мультипликативности» золотой пропорции.

Рассмотрим теперь последовательность степеней «золотой пропорции», то есть,
{... t ^--n,

…}.

Последовательность (23) обладает весьма интересным математическим свойством. С одной стороны, последовательность (23) является геометрической прогрессией, основанной на свойстве (22), то есть в ней каждый член равен предыдущему, умноженному на постоянное для данной прогрессии число t , называемое знаменателем геометрической прогрессии.

С другой стороны, в соответствии с (21) последовательность (23) обладает «свойством аддитивности», так как каждое число ряда (23) есть сумма двух предыдущих. Заметим, что свойство (21) характерно только для геометрической прогрессии со знаменателем t , и такая геометрическая прогрессия называется золотой прогрессией.

Поскольку каждой геометрической прогрессии типа (23) в геометрии соответствует некоторая логарифмическая спираль, то, по мнению многих исследователей, свойство (21) выделяет золотую прогрессию (23) среди других геометрических прогрессий и является причиной широкого распространения именно «золотой» логарифмической спирали в формах и структурах живой природы.

5. «Золотые» гиперболические модели Природы

Гиперболические функции Фибоначчи и Люка

Открытие глубокой связи между гиперболическими функциями и числами Фибоначчи и Люка можно считать одним из важнейших математических достижений современной «теории чисел Фибоначчи». Впервые на эту связь обратил известный английский математик Стефан Вайда в своей замечательной книге [80], опубликованной в 1989 г. Независимо друг от друга к этой идее подошли украинский архитектор Олег Боднар [81] и украинские математики А.П. Стахов и И.С. Ткаченко [36]. Строгая математическая теория гиперболических функций Фибоначчи и Люка впервые изложена в статье Стахова и Ткаченко [37], опубликованной в 1993 г. в книгах А.П. Стахова [17, 18], опубликованных в 2003 г. Дальнейшее развитие эта теория получила в статье Стахова и Розина [49], опубликованной в 2005 г.

Как упоминалось выше, одним из важнейших математических открытий в «Теории Золотого Сечения» являются формулы Бине (11), (12), связывающие золотую пропорцию с числами Фибоначчи и Люка. Эти формулы по своей структуре аналогичны гиперболическому синусу и косинусу. Именно развитие этой аналогии и привело Стахова и Ткаченко [17, 18] к введению нового класса гиперболических функций, названных гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка.

Гиперболический синус и косинус Фибоначчи (Стахов, Ткаченко, 1993):

Гиперболический синус и косинус Люка (Стахов, Ткаченко, 1993):

Заметим, что для дискретных значений переменной x=k фибоначчиевые и люковые гиперболические функции (24)-(25) совпадают с числами Фибоначчи и числами Люка, причем

где дискретная перменная k принимает свои значения из множества: 0, ±1, ±2, ±3,....

В работе [49] введен новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка, названных в [49] симметричными гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка.

Симметричный гиперболический синус и косинус Фибоначчи

(Стахов, Розин, 2005):

Симметричный гиперболический синус и косинус Люка

(Стахов, Розин, 2005):

где t = .

Числа Фибоначчи и Люка однозначно определяются через симметричные фибоначчиевые синусы и косинусы следующим образом:

Необходимо отметить, что согласно (29) числам Фибоначчи с четными номерами всегда соответствует симметричный фибоначчиевый синус sFs(x), а с нечетными номерами – симметричный фибоначчиевый косинус cFs(x), в то время как числам Люка с четными номерами всегда соответствует симметричный люковый косинус cLs(x), а с нечетными номерами – симметричный люковый косинус sLs(x).

Введенные выше симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка связаны между собой следующими простыми соотношениями:

Вдумаемся теперь в соотношения (26), (30). Эти соотношения показывают, что числа Фибоначчи и числа Люка являются частными («дискретными») случаями гиперболических функций Фибоначчи и Люка, которые в «дискретных точках» 0, ±1, ±2, ±3,.... совпадают с числами Фибоначчи и Люка. Самое любопытное состоит в том, что любое «непрерывное» тождество для гиперболических функций Фибоначчи и Люка превращается в соответствующее «дискретное» тождество для чисел Фибоначчи путем простой подстановки x=k, где k = 0, ±1, ±2, ±3,.... Это означает, что «дискретная» до сих пор «теория чисел Фибоначчи» как бы «вырождается», так как она заменяется теперь более общей, «непрерывной» теорией гиперболических функций Фибоначчи и Люка. А это, в свою очередь, означает, что математикам-фибоначчистам надо «сушить весла» и искать другое приложение своих талантов, так как созданная ими «теория чисел Фибоначчи» [78-80] просто становится частным случаем более общей «теории гиперболических функций Фибоначчи и Люка». А если говорить серьезно, то введение гиперболических функций Фибоначчи и Люка переводит «теорию чисел Фибоначчи» на новый уровень развития.

Геометрия Боднара

Как известно, числа Фибоначчи и Люка составляют основу так называемого «закона филлотаксиса» [81]. Согласно этому закону число левых и правых спиралей на поверхности так называемых филлотаксисных объектов (сосновой шишки, ананаса, кактуса, головки подсолнечника и т.д.) описывается отношениями соседних чисел Фибоначчи, то есть:

.

Эти отношения характеризуют «симметрию» филлотаксисного объекта. При этом, для каждого филлотаксисного объекта характерно свое отношение соседних чисел Фибоначчи из (31), которое называется порядком симметрии.

Наблюдая филлотаксисные объекты в завершенном состоянии и наслаждаясь упорядоченным рисунком на его поверхности, мы всегда задаем себе вопрос: как в процессе роста на его поверхности формируется фибоначчиевая решетка? Эта проблема и составляет основу загадки филлотаксиса, которая представляет собой одну из наиболее интригующих загадок ботаники. Суть ее состоит в том, что у большинства видов биоформ в процессе роста происходит изменение порядков симметрии, задаваемых (31). Известно, например, что головки подсолнечника, находящиеся на разных уровнях одного и того же стебля, имеют разные порядки симметрии: чем старше диск, тем выше порядок его симметрии. Это означает, что в процессе роста происходит закономерное изменение (возрастание) порядка симметрии и это изменение симметрии осуществляется по закону:

Изменение порядков симметрии филлотаксисных объектов в соответствии с (32) называется динамической симметрией [81]. Ряд ученых, исследовавших эту проблему, предполагают, что явление филлотаксиса имеет фундаментальное междисциплинарное значение. Например, по мнению В.И. Вернадского, проблема биологической симметрии является ключевой проблемой биологии.

Итак, явление динамической симметрии (32) обнаруживает свою особую роль в геометрической проблеме филлотаксиса. Напрашивается предположение, что за числовой закономерностью (32) кроются определенные геометрические законы, которые, возможно, и составляют суть секрета ростового механизма филлотаксиса и их раскрытие имело бы важное значение для разрешения проблемы филлотаксиса в целом. Эта фундаментальная проблема и была решена украинским исследователем Олегом Боднаром [81]. Боднару удалось построить оригинальную геометрическую теорию филлотаксиса, в основе которой лежит предположение, что геометрия филлотаксисных объектов является гиперболической, а изменение порядков симметрии филлотаксисного объекта в процессе своего роста основывается на гиперболическом повороте, который является основным преобразующим движением гиперболической геометрии. При этом главная особенность «геометрии Боднара» состоит в том, что для описания математических соотношений новой геометрии он использовал так называемые «золотые» гиперболические функции, которые совпадают с симметричными гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка с точностью до постоянных коэффициентов.

Таким образом, «геометрия Боднара» является блестящим примером эффективного применения гиперболических функций Фибоначчи и Люка для моделирования процессов роста филлотаксисных объектов, то есть гиперболические функции Фибоначчи и Люка являются новыми и весьма эффективными математическими моделями той части биологического мира, который имеет отношение к явлению филлотаксиса.

Золотой Шофар

Изучение симметричных гиперболических функций Фибоначчи, задаваемых (27), привело к открытию следующей функции 2-го порядка [50]:

Эта функция может быть представлена в терминах симметричных гиперболических функций Фибоначчи (27):

z² = [cFs(x) – y][sFs(x) + y].

Ниже в 3-мерном пространстве представлена поверхность 2-го порядка, основанная на функции (33). Такая поверхность названа в [50] Золотым Шофаром. В переводе с Иврита слово «Шофар» означает горн как символ силы и могущества. В Шофар трубят в Судный День (Йом Кипур).

Золотой Шофар

Математическая модель «гиперболической Вселенной» с «шофароподобной» топологией

В 2004 г. опубликована сенсационная статья [82] космологического характера. На основе экспериментальных данных, полученных в 2003 с помощью NASA's Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) в статье [82] выдвинута новая гипотеза о структуре Вселенной. В соответствии с этой гипотезой геометрия Вселенной является гиперболической, а Вселенная по своей форме напоминает горн или трубу с расширяющимся раструбом.

В этой связи Алексеем Стаховым и Борисом Розиным была опубликована статья «Золотые» гиперболические модели Природы [67], в которой высказана гипотеза о том, что Вселенная имеет «шофароподобную» топологию.

Золотое сечение, и связанные с ним числа Фибоначчи, отображают гармонию Вселенной, как единение частей в целом. С другой стороны в работах [17, 18, 37, 49] было показано, что рекуррентные последовательности Фибоначчи порождают новый класс гиперболических функций обладающих не только всеми свойствами классических гиперболических функций, но и рекуррентными свойствами.

Этот синтез гармонии, рекурсии и гиперболических функций в статье [67] названо золотым гиперболическим подходом. Гиперболичность Вселенной является наиболее ярким свидетельством ее математической гармонии – это главный итог исследований, изложенных в работах [17, 18, 37, 49, 50, 67, 81].

6. Математическая теория гармонии

Математический анализ понятия «Гармония»

Как известно, математика изучает количественные аспекты того или иного явления. И начиная математический анализ понятия гармонии, мы должны сконцентрировать наше внимание на количественных аспектах этого понятия. Что такое гармония с количественной точки зрения? Чтобы ответить на это вопрос, мы начнем с выяснения исходного значения слова «Гармония». Как известно, слово «Гармония» имеет греческое происхождение. При этом греческое слово a r m o u i a означает связь, согласие.

Существуют различные определения понятия «Гармония». Однако большинство из них сводятся к приведенному выше определению, взятому из Большой Советской Энциклопедии (см. выше).

Анализ значения слова «Гармония» и его определения показывает, что наиболее важными, «ключевыми» понятиями, которые лежат в основе этого понятия, являются следующие: связь, согласие, комбинация, упорядоченность.

Возникает вопрос: какой раздел математики изучает подобные понятия? Поиски ответа на этот вопрос приводят нас к комбинаторному анализу. Как известно, «комбинаторика занимается различного вида сочетаниями (соединениями), которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combinary – сочетать, соединять».

Из этого рассмотрения вытекает, что латинское слово combinary и греческое слово a r m o u i a имеют близкие значения и могут быть переведены как комбинация илисоединение. Это дает нам право выдвинуть гипотезу, что именно «Законы комбинаторного анализа» могут быть использованы для создания «математической теории гармонии».

Основные понятия комбинаторики

Начнем с изложения основных понятий комбинаторики. Как известно, комбинаторика занимается различного вида сочетаниями, которые можно образовать из элементов некоторого множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во 2-м веке до н.э. Индусы умели вычислять числа, которые мы обозначаем , то есть сочетания из n элементов, взятых по m, и знали формулу

Предполагают, что индусские математики изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стихов и поэтических произведений, например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы, состоящей из n слогов.

Термин «комбинаторика» стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1666 году работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве», в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением «размещений» впервые занимался Якоб Бернулли во второй части своей знаменитой книги «Ars conectandi» («Искусство предугадывания»), опубликованной в 1713 г. Он же ввел соответствующий термин и употреблял в нашем смысле также термин «перестановка». Термин же «сочетание» ввел Б. Паскаль в своем «Трактате об арифметическом треугольнике» (1665 г.).

Бином Ньютона

Слово «бином» (от латинского bis – дважды и греческого «номос» — член) означает «двучлен».

Запишем следующие выражения:

Заметим, что первые два выражения из (35) тривиальны, а остальные два нам хорошо известны из курса алгебры средней школы.

Возникает вопрос: чему равно (a+b)ⁿ? Ответ на этот вопрос дает знаменитая математическая формула, известная под названием «Бинома Ньютона», представляющая разложение целой положительной степени n бинома a+b:

В этой формуле появляются любопытные коэффициенты , которые называются биномиальными коэффициентами.

Заметим, что в названии «Бином Ньютона» заключена историческая несправедливость, так как эта формула была известна задолго до Ньютона многим ученым разных стран, в том числе Ал-Каши, Тарталье, Ферма, Паскалю. Заслуга Ньютона состоит в том, что он распространил ее на любое действительное число n, то есть он показал, что формула (36) верна и тогда, когда n является рациональным или иррациональным, положительным или отрицательным.

Формулы (35) являются частными случаями общей формулы (36). В частности, при n=1 формула (36) принимает вид:

(a+b)¹ = a + b = 1a + 1b,

откуда вытекает, что =1 и =1.

При n=2 формула (36) принимает вид:

(a+b)² = a² + ab + b² = 1a² + 2ab + 1b²,

откуда вытекает, что = 1, = 2, = 1.

Таким образом, разложение (36) легко получить, если мы научимся вычислять биномиальные коэффициенты .

Треугольник Паскаля

Ответ на вопрос, как найти значение для любых целых неотрицательных n и k еще в 17 в. дал знаменитый французский физик и математик Блез Паскаль (1623-1662). Паскаль обнаружил, что биномиальные коэффициенты обладают следующими замечательными свойствами:

Последнее свойство (38) называется также законом Паскаля. Именно используя соотношение (38), Паскаль предложил изящный способ вычисления биномиальных коэффициентов, расположив их в виде треугольной таблицы чисел, называемой треугольником Паскаля. Суть этого способа состоит в следующем. Рассмотрим бесконечную таблицу чисел, построенных по «закону Паскаля»

Треугольник Паскаля

Верхняя строку указанной таблицы будем считать нулевой строкой. Здесь находится единственный биномиальный коэффициент =1. Следующая строка, называемая первой, состоит из двух единиц, симметрично расположенных относительно единицы нулевой строка. Это — биномиальные коэффициенты = 1 и = 1. Каждая последующая строка состоит из двух единиц, расположенных по ее краям (это биномиальные коэффициенты типа = 1 и = 1); каждое «внутреннее» число этой строки формируется из двух чисел предыдущей строки, стоящих над этим числом слева и справа относительно этого числа, по «закону Паскаля» (38). Легко доказать следующие свойства «Треугольника Паскаля»:

1. Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2ⁿ, что соответствует формуле (34).
2. Все строки треугольника Паскаля симметричны, что вытекает из свойства (37).

Прямоугольный Треугольник Паскаля

Возникает вопрос: какое отношение треугольник Паскаля имеет к числам Фибоначчи и золотому сечению? Оказывается – самое непосредственное. Более того. Именно треугольник Паскаля и является источником новых математических результатов, которые были положены автором настоящей статьи в основу Математики Гармонии [47].

Как известно, существует много различных форм представления треугольника Паскаля. В нашем исследовании мы будем использовать таблицу биномиальных коэффициентов, называемую прямоугольным треугольником Паскаля.

Прямоугольный треугольник Паскаля

Такая таблица начинается с «нулевого столбца», который содержит единственный биномиальный коэффициент = 1 и из «нулевого ряда», который содержит биномиальные коэффициенты: = 1, = 1, = 1, = 1,..., = 1,.... Заметим, что «гипотенуза» прямоугольного треугольника Паскаля состоит из биномиальных коэффициентов типа =1, =1, =1,...., = 1,....

Заметим также, что в n-м столбце сверху вниз расположены следующие биномиальные коэффициенты: , , , ,..., ; при этом все клетки под «гипотенузой» являются «пустыми». Это означает, что все диагональные коэффициенты типа (m>n) тождественно равны нулю, то есть,

Тогда, если просуммировать биномиальные коэффициенты n-го столбца рассматриваемого треугольника Паскаля, то согласно (32) мы получим «двоичное число» 2ⁿ. Если это сделать для всех столбцов, начиная с нулевого, то мы получим широко известный нам «двоичный ряд чисел»:

Таким образом, мы можем утверждать, что треугольник Паскаля «генерирует» двоичный ряд чисел!

1-треугольник Паскаля

А теперь сдвинем каждый ряд исходного треугольника Паскаля на один столбец вправо относительно предыдущего ряда. В результате такого преобразования мы получим некоторый «деформированный» треугольник Паскаля, который мы будем называть 1-треугольником Паскаля..

1-треугольник Паскаля

Если мы теперь просуммировать биномиальные коэффициенты 1-треугольника Паскаля по столбцам, то, к нашему изумлению, мы обнаружим, что такое суммирование приведет нас к числам Фибоначчи:

где через F₁(n+1) обозначено (n+1)-е число Фибоначчи, которое задается с помощью следующей рекуррентной формулы:

;2

при следующих начальных условиях:

Анализируя 1-треугольник Паскаля, легко вывести математическую формулу, которая позволяет выразить числа Фибоначчи через биномиальные коэффициенты:

В результате проведенных рассуждений мы нашли, что существует два способа представления чисел Фибоначчи: в виде рекуррентной формулы (42), (43) и в виде формулы (44), выражающей числа Фибоначчи через биномиальные коэффициенты.

Полученный математический результат был найден во второй половине 20-го столетия многими математиками-фибоначчистами практически одновременно. Но для нашего исследования этот результат имеет принципиальное значение. Мы обнаружили числа Фибоначчи при исследовании треугольника Паскаля, то есть, математического объекта, который считается одним из главных математических объектов комбинаторного анализа. И этот результат подтверждает правильность нашей главной «методологической идеи» о том, что основой «Математической теории гармонии» является комбинаторный анализ.

Р-треугольники Паскаля

А теперь «закрепим наш успех» и покажем, что треугольник Паскаля является источником новых математических результатов, которые представляют интерес для комбинаторного анализа. Для этого продолжим наши «манипуляции» с треугольником Паскаля. Если теперь в исходном треугольнике Паскаля сдвинуть биномиальные коэффициенты каждого ряда на р столбцов (р=0, 1, 2, 3,...) вправо относительно предыдущего ряда, то мы получим новый «деформированный» треугольник Паскаля, который мы назовем р-треугольником Паскаля.

Нетрудно показать (или догадаться), что суммирование биномиальных коэффициентов р-треугольника Паскаля приведет нас к некоторому новому числовому ряду, который задается следующим рекуррентным соотношением:

К числовым рядам, задаваемым формулами (45), (46), автор пришел еще в 1977 г. [8]. Эти числовые ряды были названы в [8] p-числами Фибоначчи.

В книге [8] выведена формула, задающая p-числами Фибоначчи через биномиальные коэффициенты:

А теперь посмотрим, во что вырождаются общие формулы (45), (46) и (47) при различных значениях р. Ясно, что для случая р=0 рекуррентная формула (45) и начальные условия (46) принимают следующий вид:

Нетрудно догадаться, что рекуррентная формула (48) при начальном условии (49) «генерирует» двоичные числа (40), которые и являются крайним частным случаем р-чисел Фибоначчи, соответствующим значению р=0. При этом формула (47) вырождается в формулу (32), которая была известна в Индии уже во 2-м веке до н.э.

Ясно, что при р=1 общая рекуррентная формула (45), (46) сводится к рекуррентной формуле (42), (42) для классических чисел Фибоначчи (41); эта формула была выведена Фибоначчи еще в 13-м веке при исследовании «задачи о размножении кроликов». При этом формула (47) вырождается в формулу (44). Таким образом, исследование треугольника Паскаля, проведенное в [8], привело к открытию бесконечного числа рекуррентных числовых рядов, задаваемых формулой (47), которая выражает новые свойства треугольника Паскаля и представляет общематематический интерес.

Отношения соседних р-чисел Фибоначчи

Образуем теперь числовые последовательности, которые состоят из отношений соседних р-чисел Фибоначчи, то есть, отношений типа F_p(n)/F_p(n-1).

Начнем с простейшего случая р=0. Для этого случая р-числа Фибоначчи сводятся к классическим двоичным числам (40). Рассмотрим числовую последовательность, состоящую из отношений соседних двоичных чисел:

Ясно, что любой член последовательности (50) всегда равен 2.

Рассмотрим теперь случай р=1. Как было установлено, в этом случае р-числа Фибоначчи совпадают с классическими числами Фибоначчи (41), из которых мы можем образовать следующую числовую последовательность:

Еще Кеплер установил, что числовая последовательность (51) выражает так называемый «закон филлотаксиса», то есть важную числовую закономерность, которая лежит в основе большинства «плотноупакованных» ботанических структур типа сосновой шишки, ананаса, головки подсолнечника, кактуса и т.д., то есть эта последовательность широко используется Природой (или Богом) при конструировании ботанических структур. С другой стороны, эта последовательность стремится к Золотой Пропорции t = , которая является корнем «уравнения золотого сечения»:

В общем случае (для заданного целого р=0, 1, 2, 3,...) исследуя отношения соседних р-чисел Фибоначчи F_p(n)/F_p(n-1), мы придем к следующему алгебраическому уравнению:

Положительный корень этого уравнения t _р было названо в [8] обобщенной золотой пропорцией или золотой р-пропорцией.

Подведем некоторые итоги. Из проведенного исследования вытекает, что треугольник Паскаля, который нам известен, по крайней мере, с 17-го столетия, хранит много интересных тайн, одну из которых мы только что раскрыли. Суть этого открытия состоит в том, что треугольник Паскаля «генерирует» бесконечное число новых рекуррентных числовых последовательностей, которые названы р-числами Фибоначчи. Кроме того, исследование р-чисел Фибоначчи привело нас к открытию нового класса иррациональных чисел t _р, которые мы назвали золотыми р-пропорциями. С увеличением р золотая р-пропорция становится все меньше и в предельном случае (р® JPY) t _р ® 1.

С учетом вышеизложенного можно привести значения золотых р-пропорций для некоторых значений р.

Золотые р-пропорции

Таким образом, между числами 2 и 1 находится бесконечное число новых иррациональных чисел, золотых р-пропорций, которые выражают более сложные «гармонии», чем классическая золотая пропорция t = 1,618. То есть, золотых пропорций существует бесконечное количество. И все они имеют одинаковое право выражать «Математическую гармонию». Это – первый методологический вывод, который вытекает из «Математики Гармонии» [47].

Исследование свойств р-чисел Фибоначчи изолотых р-пропорций, которые выражают «Математическую гармонию», и их приложений и является главной задачей новой математической теории – «Математики Гармонии» [47].

Геометрическая формулировка задачи о золотом р-сечении

А теперь сформулируем «задачу о золотом р-сечении» геометрически. Как известно [78-80], «золотое сечение» отрезка АВ точкой С представляет собой его деление на две неравные части АС и СВ так, чтобы выполнялась следующая пропорция:

Эта задача допускает следующее обобщение [8]. Зададимся целым неотрицательным числом р=0, 1, 2, 3,... и разделим отрезок AВ точкой C в следующей пропорции:

Если обозначить и учесть, что АВ = АС + СВ, то отношение можно представить в виде:

Учитывая введенное выше обозначение и пропорцию (55), выражение (56) можно записать в виде:

,

откуда непосредственно вытекает алгебраическое уравнение (53), полученное нами при исследовании отношений соседних р-чисел Фибоначчи.

Это означает, что деление отрезка в отношении (55) является делением отрезка в золотой р-пропорции t _р.

Заметим, что пропорция (55) сводится к «дихотомии» (то есть к делению отрезка пополам) для случая p = 0 и к классическому золотому сечению для случая p = 1. Учитывая это обстоятельство, деление отрезка AB точкой C в отношении (55) было названо в [8] золотым p-сечением.

Некоторые алгебраические свойства золотой р-пропорции

Подставляя золотую р-пропорцию t _р вместо x в уравнение (53), получим следующее тождество для золотой р-пропорции:

Разделив все члены тождества (57) на , получим следующие замечательные свойства золотой р-пропорции:

и

Заметим, что для случая р=0 (t ₀=2) тождества (58) и (59) вырождаются в следующие тривиальные тождества:

и 2 – 1 = .

При р=1 , а тождества (58), (59) вырождаются в замечательные тождества (15), (16), хорошо известные в теории золотого сечения.

Будем теперь многократно умножать и делить все члены тождества (57) на t _р; в результате получим следующее замечательное тождество, связывающее степени золотой р-пропорции:

Таким образом, введенное выше понятие «золотой р-пропорции», действительно, представляет общематематический интерес, поскольку «теория «золотой р-пропорции» включает в себя в качестве частных случаев теорию двоичных чисел и теорию классической золотой пропорции.

Обобщенный принцип Золотого Сечения

Рассмотрим основное тождество для золотой р-пропорции, задаваемое (60). Разделим все члены тождества (60) на . В результате получим следующее тождество, задающее «Единицу»:

Используя (60), (61), можно сконструировать следующую «динамическую» модель разложения «Единицы» по степеням золотой р-пропорции:

Основным результатом проведенного исследования, изложенном в [54], является получение весьма общего тождества, позволяющего представить «Единицу» как сумму степеней золотой р-пропорции:

Заметим, что при р=0 тождество (63) принимает следующий вид:

Известно [83], что тождество (64) выражает так называемый «Принцип дихотомии», который пришел к нам из античной науки («Апории Зенона») и который широко используется в математике и других науках.

Наконец, при р=1 тождество (63) принимает вид:

Заметим, что тождество (65) выражает так называемый «Принцип Золотого Сечения» [83], который также пришел к нам из античной науки.

Следовательно, тождество (63) задает нам более общий научный принцип деления целого на части, который назван в [54] «Обобщенным Принципом Золотого Сечения». Еще раз подчеркнем, что этот общий принцип содержит в себе в качестве частных случаев «Принцип Дихотомии» (р=0) и «Принцип Золотого Сечения» (р=1), и следовательно, он имеет такое же важное методологические значение, как «Принцип Дихотомии» и «Принцип Золотого Сечения».

«Золотые» алгебраические уравнения

Алгебраическое уравнение (53), выведенные нами при исследовании р-чисел Фибоначчи, является уравнением (р+1)-й степени и имеет, следовательно, р+1 корней x₁, x₂, x₃, …, x_p, x_p+1. В дальнейшем будем считать, что корень x₁ всегда совпадает с золотой р-пропорцией t _p, то есть, x₁ = t _p. Из уравнения (53) непосредственно вытекает следующее тождество, справедливое для любого из его корней x₁, x₂, x₃, …, x_p, x_p+1:

где n = 0, ±1, ±2, ±3, …; x_k – корень уравнения (53); k = 1, 2,..., р+1.

В работе [51] доказаны следующие необычные свойства корней уравнения (53):

х₁х₂х₃х ₄...х_р-1х_рх _{р +1} = (-1)^p (67)

Кроме того, доказано [51], что для заданных целых р=1, 2, 3,... и k=1, 2, 3, …, p для корней уравнения (53) выполняется следующее тождество:

В работе [51] доказано также, что существует бесконечное число алгебраических уравнений, производных от «золотого» уравнения (53), причем все они имеют общий корень – золотую р-пропорцию t _p. Общий вид такого уравнения имеет вид:

где F_p(n-р+1) и F_p(n-р-t) – р-числа Фибоначчи, задаваемые (45), (46), n3 р+1.

В частности, для случая р=1 общее уравнение (68) принимает следующий вид:

где F_n, F_n-1 – числа Фибоначчи.

При n=4 уравнение (73) сводится к следующему уравнению:

Уравнения (71) приводит нас к неожиданному результату, значение которого выходит за пределы математики. Оказывается, что уравнение (71) описывает энергетическое состояние молекулы бутадиена – ценного химического вещества, которое используется при производстве каучука. Известный американский физик, Лауреат Нобелевской Премии Ричард Фейнман выразил свое восхищение по поводу уравнения (71) в следующих словах: «Какие чудеса существуют в математике! Согласно моей теории золотая пропорция древних греков дает минимальное энергетическое состояние молекулы бутадиена».

Этот факт сразу же повышает наш интерес к «золотым» алгебраическим уравнениям, задаваемым (69) и (70). Возможно, что именно эти уравнения могут быть использованы в качестве «золотых» математических моделей энергетических состояний молекул других физических веществ.

Обобщенные формулы Бине для р-чисел Фибоначчи и р-чисел Люка

Как упоминалось выше, формулы (11), (12), выведенные еще в 19 в. известным французским математиком Бине, является ли едва ли не самыми знаменитыми формулами «теории чисел Фибоначчи» [78-80]. Возникает вопрос, а нельзя ли вывести подобные формулы для р-чисел Фибоначчи? Эта задача была решена Стаховым и Розиным в работе [52]. В этой работе выведены обобщенные формулы Бине, позволяющие представить аналитически р-числа Фибоначчи через корни «золотого» алгебраического уравнения (53). Доказано [52], что для заданного целого р>0 любое р-число Фибоначчи F_p(n) (n=0, ±1, ±2, ±3, …) может быть выражено через корни «золотого» алгебраического уравнения (53) в следующем виде:

где x₁, x₂, …, x_p+1 — корни «золотого» алгебраического уравнения (53), а k₁, k₂, …, k_p+1 – постоянные коэффициенты, которые являются решением системы уравнений:

В частности, при р=1 р-числа Фибоначчи сводятся к классическим числам Фибоначчи F_n и для этого случая выражение (72) сводятся к хорошо известному в «теории чисел Фибоначчи» [78-80] выражению:

где x₁, x₂ – корни алгебраического уравнения (13), задаваемые выражениями:

а коэффициенты k₁, k₂ являются решениями системы уравнений:

В результате решения системы уравнений (76) мы получаем следующие выражения для коэффициентов k₁ и k₂:

Подставляя выражения (75), (77) в формулу (74), получим хорошо известную формулу Бине для чисел Фибоначчи:

Как известно [78-80], числа Люка L_n могут быть выражены через корни x₁, x₂ следующем образом:

В работе [52] доказано, что сумма n-х степеней корней x₁, x₂, …, x_p+1 «золотого» алгебраического уравнения (53) задает новый класс рекуррентных числовых последовательностей, названных в [52] р-числами Люка L_p(n), где р=1, 2, 3,..., то есть,

С использованием свойств корней алгебраического уравнения (53), задаваемых (66)-(67), доказано [28], что числовая последовательность, задаваемая (80), может быть также вычислена по рекуррентной формуле:

при следующих начальных условиях:

Табл. 5 задает значения р-чисел Люка для начальных значений р=1, 2, 3, 4.

Таблица p-чисел Люка

Таким образом, основным результатом работы [52] является обобщение формул Бине и открытие нового класса рекуррентных числовых последовательностей, обобщенных чисел Люка, задаваемых (80)-(83), которые, вполне вероятно, могут быть использованы в качестве моделей явлений окружающего нас мира.

Золотые р-пропорции и «Сакральная Геометрия»

Введенные выше новые математические понятия, в частности, такие как р-числа Фибоначчи, золотые р-пропорции, гиперболические функции Фибоначчи и Люка, имеют много интересных приложений в математике. Начнем с такого древнего математического учения как «Сакральная Геометрия». В брошюре автора «Сакральная Геометрия и Математика Гармонии» [20], которое затем была выставлена на сайте «Академия Тринитаризма» [62], показано, что понятие золотой р-пропорции имеет прямое отношение к сакральной геометрии [84].

Рассмотрим «золотой р-прямоугольник» [20, 62], в котором отношение сторон равно:

t _p: 1, где t _p – золотая р-пропорция.

Золотой р-прямоугольник

Напомним, что существует бесконечное число «золотых р-прямоугольников», поскольку р может принимать значения из множества р=0, 1, 2, 3,.... Рассмотрим теперь, к чему сводится «золотой р-прямоугольник» для частных случаев значения р. Пусть р=0. В этом случае золотая 0-пропорция t ₀ = 2 и тогда золотой 0-прямоуголник будет представлять собой ни что иное, как широко известный «двойной» квадрат, который считается священной фигурой и порождает «священное число» (диагональ «двойного» квадрата). Пусть теперь р=1. В этом случае «золотой р-прямоугольник» сводится к такой «священной фигуре» как классический «золотой прямоугольник» с отношением сторон t = . Это число, «золотая пропорция», считается в сакральной геометрии «священным числом». Наконец, при р ® JPY t _p ® 1 и тогда «золотой р-прямоугольник» вырождается в такую «священную фигуру» как квадрат, который связан со «священным числом» (диагональ квадрата).

Таким образом, по крайней мере, три ( , , ) из пяти основных геометрических отношений сакральной геометрии [84] имеют непосредственное отношение к понятию «золотая р-пропорция», которое является одним из важнейших понятий Математики Гармонии. Это означает, что Математика Гармонии может быть использована для развития сакральной геометрии. Одно из радикальных предложений состоит в том, чтобы золотые р-пропорции (р=0, 1, 2, 3,...) ввести в священную геометрию в качестве основных отношений сакральной геометрии.

7. «Металлические средние» или числа Шпинадель-Татаренко

В конце 20-го века в «теории чисел Фибоначчи» возник спор об авторстве одного математического открытия, имеющего важное значение для «теории чисел Фибоначчи». Суть спора описана в статье автора [64], выставленной на сайте «Академия Тринтаризма». В конце 20-го столетия известный аргентинский математик Вера Шпинадель описала семейство новых числовых пропорций, названных «металлическими средними». Впервые «металлические средние» были описаны Верой Шпинадель в 1997 г. в работе [85], а в книге [86], изданной в 1998 г. и переизданной в 2004 г., профессор Вера Шпинадель дала детальное изложение своего научного открытия.

Шпинадель обобщает рекуррентное соотношение Фибоначчи (2) следующим образом. Рассмотрим рекуррентное соотношение следующего типа:

где p и q – натуральные числа. Ясно, что при p = q = 1 рекуррентная формула (84) сводится к рекуррентной формуле (2). При заданных начальных условиях G(1) и G(2) и заданных p и q рекуррентная формула (84) «генерирует» бесконечное число рекуррентных числовых последовательностей, называемых обобщенными числами Фибоначчи.

Далее Шпинадель исследует предел, к которому стремится отношение двух соседних обобщенных чисел Фибоначчи, задаваемых рекуррентной формулой (84), и доказывает, что это отношение при разных p и q задает «Семейство Металлических Средних», которые являются положительными решениями следующего квадратного уравнения:

Как известно, решение алгебраического уравнения (85) известно каждому школьнику. Положительный корень уравнения (85) задается следующей формулой:

Наиболее интересным случаем «металлических пропорций», задаваемых (86), является случай, когда q=1. Для этого случая уравнение (85) принимает вид:

а положительное решение этого уравнения («металлическая пропорция» s _p¹) может быть представлено в виде следующей цепной дроби:

Ясно, что при р=1 цепная дробь (88) сводится к цепной дроби (17), задающей классическую золотую пропорцию.

При р=2 цепная дробь (88) принимает следующий вид:

«Металлическую пропорцию» s ₂¹, задаваемую цепной дробью (89), Вера Шпинадель называет серебряным средним или серебряной пропорцией.

Используя выражение (86), легко вычислить значение «серебряной пропорции» s ₂¹, которая может быть представлена в виде следующего выражения:

Интрига, однако, состояла в том, что независимо от Веры Шпинадель к «металлическим пропорциям» типа (88) пришел российский ученый Александр Татаренко, который в своей первой статье на эту тему [87], опубликованной в 1999 г., назвал их T_m-гармониями, то есть «Гармониями Татаренко».

Оценивая значение своего математического открытия, Шпинадель и Татаренко пришли к диаметрально противоположным выводам. К чести Веры Шпинадель, она очень осторожно и трезво оценила значение открытия с математической точки зрения. Сравнивая «металлические пропорции», задаваемые (88), с золотой пропорцией, задаваемой (17), она отдает решительное предпочтение классической золотой пропорции, называя ее «наиболее иррациональным числом из всех иррациональных». Это заключение она сделала на том основании, что непрерывная дробь (17) является наиболее медленно сходящейся непрерывной дробью – и это свойство классической золотой пропорции выделяет ее среди других «металлических пропорций» типа (88) и делает ее «единственной и неповторимой».

В отличие от Веры Шпинадель, А.А. Татаренко в своих статьях попытался возвести свои T_m-гармонии на уровень эпохального научного открытия, которое, по мнению Татаренко, является «важнейшим научным прорывом на пути к Истине о Гармонии Мира, сравнимым со сменой птоломеевского геоцентризма на гелиосистему Коперника».

Если оставить на совести Татаренко его оценки T_m-гармоний и извлечь «сухой остаток» из исследований Шпинадель и Татаренко, то можно сделать следующий вывод, сделанный автором в заметке [88]: «Признать, что два ученых Вера Шпинадель (Аргентина) и Александр Татаренко (Россия) пришли к открытию новых числовых констант независимо друг от друга и практически одновременно. Поэтому они оба имеют право на это открытие. Предлагаю в дальнейшем называть новые числовые константы «числами Шпинадель-Татаренко».

Время покажет, являются ли «числа Шпинадель-Татаренко» эпохальным открытием, хотя никто не отрицает, что «числа Шпинадель-Татренко» – оригинальный результат, представляющий определенный интерес для теории Золотого Сечения.

8. Новая теория чисел

Основания классической теории чисел

Как известно, «число» является наиболее важным понятием математики, а теория чисел является одной из древнейших математических теорий. И если математику называют «царицей науки», то теорию чисел называют «царицей математики». На первых этапах развития математики развитие понятия числа было связано с практическими потребностями человека в счете и измерении. Затем число становится основным понятием математики и дальнейшее развитие этого понятия в значительной степени определяется внутренними потребностями развития математики.

Исторически первым возникло понятие натурального числа. Его введение было связано с практической потребностью в счете предметов. Выдающаяся, фундаментальная роль натуральных чисел в развитии математики выражена в следующих словах знаменитого математика Леопольда Кронекера (1823-1891): «Бог создал натуральные числа, все прочее – творение человека».

Но что такое «натуральное число»? Впервые строгое определение этого понятия было дано в Началах Евклида. Евклид рассматривал все числа как геометрические отрезки, и такой подход привел его к следующему геометрическому определению натурального числа. Вообразим, что мы имеем бесконечное количество «эталонных отрезков» длины 1. Евклид называл их «монадами» и не считал «монаду» за число. Это было просто «начало всех чисел». Итак, пусть мы имеем бесконечное множество S «монад», то есть

Тогда натуральное число N определятся как некоторый отрезок, представляющий сумму «эталонных отрезков», взятых из множества (90), то есть,

Несмотря на предельную простоту такого определения, оно сыграло большую роль в математике и лежит в основе многих полезных математических понятий, например, понятий четного и нечетного, простого и составного числа, а также понятия «делимости», которое является одним из главных понятий теории чисел.

Конструктивное определение действительного числа

Возникает вопрос, а существует ли строгое математическое определение понятия «действительное число»? Оказывается, существует. Известно, например, так называемое «конструктивное определение» действительного числа, основанное на его представлении в двоичной системе счисления:

где a_iI {0, 1} и i = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Определение действительного числа, задаваемое (93), имеет следующую геометрическую интерпретацию. Пусть задано бесконечное множество «двоичных» отрезков:

где i = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …. Тогда «конструктивными» действительными числами называются все геометрические отрезки, которые могут быть представлены в виде конечной суммы (93), состоящей из любой комбинации «двоичных» отрезков, взятых по одному из (94).

Заметим, что количество членов, входящих в сумму (94), всегда конечно, но потенциально неограниченно.

Ясно, что определение (93) задает на числовой оси только часть действительных чисел, которые могут быть представлены в виде конечной суммы (93). Такие числа мы будем называть конструктивными. Все остальные действительные числа, которые не могут быть представлены в виде конечной суммы (93), являются неконструктивными. Какие же числа относятся к «неконструктивным» в рамках определения (93)? Ясно, что это, прежде всего, все иррациональные числа, в частности, главные математические константы p и е, число , «золотая пропорция» и т.д. Но в рамках определения (93) к разряду «неконструктивных» мы должны отнести и некоторые «рациональные» числа (например, 2/3, 3/7 и т.д.), известные под названием периодических дробей.

Заметим, что хотя определение (93) значительно ограничивает множество действительных чисел, это никак не умаляет его значение с «практической», вычислительной точки зрения. Легко доказать, что любое «неконструктивное» действительное число может быть представлено в виде (93) приближенно, причем ошибка приближения D будет неограниченно уменьшаться по мере увеличения числа членов в (93), однако D 1 0 для «неконструктивных» действительных чисел. По существу, в современных компьютерах мы пользуемся только «конструктивными» числами, задаваемыми (93), и это нас вполне устраивает, потому что любое «неконструктивное» число может быть представлено в виде (93) с погрешностью, потенциально стремящейся к 0.

Определение Ньютона

В течение многих тысячелетий математики развивали и уточняли понятие числа. В 17-м веке в период зарождения современной науки и математики, разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов и понятие действительного числа вновь выходит на передний план. Наиболее отчетливо новое определение этого понятия дается одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном в его «Всеобщей Арифметике»:

«Под числами мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу».

Эта формулировка дает нам единое определение действительного числа, рационального или иррационального. Если теперь рассмотреть «Евклидово определение числа» (91) с точки зрения «определения Ньютона», то в качестве «другой величины того же рода, принятой за единицу», выступает «монада». В двоичной системе счисления (93) роль «единицы», играет число 2, то есть основание системы счисления.

Система счисления Бергмана

В 1957 г. американский математик Джордж Бергман опубликовал статью «A number system with an irrational base» [88] в известном математическом журнале Mathematics Magazine. В этой статье автор предложил весьма необычное расширение понятия позиционной системы счисления. Он предложил использовать в качестве основания системы счисления золотую пропорцию , которая обладает математическим свойством (21). Если теперь использовать последовательность чисел t ⁱ {i=0, ±1, ±2, ±3, …} в качестве «весов разрядов» некоторой двоичной системы счисления, использующей двоичные цифры 0 и 1, то мы получим «двоичную» (то есть использующую цифры 0 и 1) систему счисления, имеющую иррациональное основание t. Система счисления Бергмана может быть задана в виде следующего математического выражения:

где А – некоторое действительное число, a_i – двоичные цифры 0 или 1, i = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …, t ⁱ – вес i-й цифры в системе счисления (95), t — основание системы счисления.

На первый взгляд кажется, что «система Бергмана» не представляет собой ничего особенного по сравнению с традиционной двоичной системой счисления (93), но это далеко не так. Суть математического открытия Бергмана состоит именно в том, что основанием системы счисления является золотая пропорция , что порождает ряд весьма интересных математических свойств данной системы, о которых будет сказано ниже.

Любопытно отметить, что к своему математическому открытию Джордж Бергман пришел в весьма юном возрасте, когда ему было всего лишь 12 лет! Несмотря на молодость автора, его статья, как упоминалось, была опубликована в весьма престижном американском математическом журнале «Mathematics Magazine», и по этому поводу широко известный публицистический журнал «Times» даже опубликовал даже интервью с юным математическим дарованием Америки. В настоящее время Джордж Бергман работает профессором кафедры математики University of California (USA). Он является соавтором двух математических книг «An Invitation to General Algebra and Universal Constructions» (1998) и «Co-groups and Co-rings in Categories of Associative Rings» (1996), а также автором многих статей в области дискретной математики. Сейчас трудно сказать: имеют ли математические работы Бергмана большее значение, чем его оригинальная система счисления, которую он изобрел в юном возрасте. Несомненно одно. Имя американского математика Джорджа Бергмана широко известно в современной науке, прежде всего, благодаря его уникальной системе позиционного представления чисел.

Коды золотой пропорции

В 1984 г. издательство «Радио и связь» (Москва) опубликовало книгу автора «Коды золотой пропорции» [10]. В этой книге была изложена теория более общего, чем система Бергмана, класса систем счисления, которые задаются следующим математическим выражением:

где a_i — двоичная цифра i-го разряда позиционного представления (96), t _p – золотая р-пропорция, которая является основанием системы счисления (96), - вес i-го разряда позиционного представления (96), i = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Отметим, что выражение (96) задает бесконечное число «двоичных» (то есть использующих цифры 0 и 1) позиционных представлений, так каждому р (р=0, 1, 2, 3, …) соответствует свое позиционное представление (96). В частности, при р=0 основание t _р=2 и позиционное представление (96) сводится к классической двоичной системе счисления (93). При р=1 t _р= и позиционное представление (96) сводится к системе счисления Бергмана (95). Наконец, при р® JPY золотая р-пропорция t _р ® 1, а это означает, что для этого предельного случая позиционное представление (96) сводится к Евклидовому определению (92).

Заметим, что система счисления Бергмана (95) и ее обобщение (96) при р > 0 образуют новый класс позиционных систем счисления – системы счисления с иррациональными основаниями.

Системы счисления с иррациональными основаниями с точки зрения «определения Ньютона»

В статье [39] изложен новый подход к геометрическому определению действительного числа, основанный на использовании введенного выше понятия кода золотой пропорции (96). Рассмотрим бесконечное множество «эталонных отрезков», основанных на «золотой p-пропорции» t _p:

где n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …; — степени «золотой p-пропорции», связанные между собой соотношением (60).

Множество (97) «порождает» введенный выше код золотой р-пропорции (96). Код золотой пропорции (96) задает новое определение действительного числа, которое, как было установлено выше, сводится к классической двоичной системе счисления (93) при р=0, к системе счисления Бергмана (95) и, наконец, к Евклидовому определению (92) при р® JPY.

Конструктивные действительные числа

Как упоминалось, система счисления Бергмана (95) и код золотой р-пропорции (96) разделяют все действительные числа на два непересекающихся подмножества: конструктивные и неконструктивные действительные числа. К разряду конструктивных относятся все действительные числа, которые могут быть представлены в виде конечной суммы типа (96). Возникает вопрос, какие действительные числа являются «конструктивными» в смысле (96)? Прежде всего, к разряду «»конструктивных» чисел в смысле (96) относится число t _р, являющееся основанием системы счисления (96):

Любопытно отметить, что основание любой из систем счисления (96) изображается традиционно, то есть, как основание классической двоичной системы счисления (93):

что является частным случаем выражения (98) при р=0.

К разряду «конструктивных» относятся также все степени «золотой пропорции», например,

t _р³ = 1000; t _р² = 100; t _р^-1 = 0,1; t _р^-2 = 0,01.

и все их суммы, например,

t _р⁵ + t _р¹ + t _р⁰ + t _р^-2 + t _р^-4 = 100011,0101.

Представление натуральных чисел в системах счисления с иррациональными основаниями

Однако, наиболее неожиданным результатом теории систем счисления с иррациональными основаниями, задаваемыми (96), является установление следующего математического факта, доказанного в [39]: любое натуральное число является «конструктивным», то есть всегда может быть представлено в системе счисления Бергмана (95) и коде золотой р-пропорции (96) в виде конечной суммы степеней золотой пропорции, то есть каждому натуральному числу N соответствует некоторый полином, представляющий собой конечную сумму степеней золотой р-пропорции!

Это означает, что любое натуральное число N может быть представлено в виде:

где a_i — двоичные коэффициенты, причем число членов в полиноме (100) является конечным для любого натурального N.

Например, число 10 (основание десятичной системы) в системе счисления Бергмана представляется в виде следующего полинома:

И подобных полиномов существует бесконечное число! Ясно, что выражение (100) имеет глубокое теоретико-числовое содержание и представляет собой, возможно, самое неожиданное свойство системы Бергмана (95) и кодов золотой р-пропорции (96).

А теперь возвратимся на 2,5 тысячелетия назад и представим себе реакцию пифагорейцев на этот результат. Согласно главной доктрине пифагорейцев «Все есть число», в основе мироздания лежат натуральные числа и их отношения, так как любую вещь в природе можно выразить как отношение двух натуральных чисел (хотя после открытия «несоизмеримых отрезков» это утверждение, строго говоря, уже не соответствовало представлениям пифагорейцев). Но мы только что показали, что любое натуральное число может быть выражено через золотую пропорцию и ее обобщение — золотую р-пропорцию! Из этого рассуждения с необходимостью вытекает новая доктрина, которую пифагорейцы безоговорочно приняли, если бы знали о системе Бергмана (95) и коде золотой р-пропорции (96): «Все есть золотая пропорция!» или даже «Все есть золотая р-пропорция!».

Таким образом, из проведенных выше рассуждений мы можем заключить, что в случае системы счисления Бергмана (95) и кода золотой р-пропорции (96) мы имеем дело с совершенно уникальными позиционными системами, системами счисления с иррациональными основаниями, которые переворачивает наши представления о системах счисления, более того, наши представления о соотношении между рациональными и иррациональными числами. Как известно, исторически первыми возникли числа натуральные, за ними – числа рациональные, как отношения натуральных чисел, и затем, после открытия «несоизмеримых отрезков», — числа иррациональные, которые не могут быть представлены в виде отношения двух натуральных чисел. Но в системах счисления (95), (96) все получается как бы наоборот. Исходным числом систем счисления (95), (96), ее основанием, являются классическая золотая пропорция t = или золотая р-пропорция t _p, которые вытекают из геометрических определений (54), (55), то есть основание систем счисления (95), (96) вытекает из геометрических соотношений. А затем из этих чисел, согласно позиционному принципу, могут быть сконструированы все действительные числа (включая натуральные). Таким образом, систему счисления Бергмана (95) и коды золотой р-пропорции (96) можно рассматривать как новое определение действительного числа – и этот вывод может иметь далеко идущие последствия для теории чисел и всей математики!

Такой подход сразу же вызывает к жизни новую теорию чисел, основанную на золотых р-пропорциях. И в этой «новой теории чисел» могут быть получены далеко не тривиальные теоретико-числовые результаты. Одним из таких свойств является так называемое Z-свойство натуральных чисел.

Z-свойство натуральных чисел

В «теории золотого сечения» [78-80] известна следующая удивительная формула, связывающая степени золотой пропорции с числами Фибоначчи F_n и числами Люка L_n:

где n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,....

Применяя эту формулу к выражению

которое задает представление натурального числа N в системе счисления Бергмана, после проведения несложных преобразований мы получим:

где

Запишем теперь выражение (104) в виде:

Заметим, что двоичные цифры a_i в выражениях (105), (106) всегда совпадают с соответствующими двоичными цифрами в выражении (103).

Рассмотрим теперь выражение (107). Это выражение весьма необычное. Действительно, поскольку числа Фибоначчи и числа Люка всегда являются целыми числами, то любая сумма этих чисел типа (105), (106), взятых с двоичными коэффициентами 0 и 1, всегда будет целым числом. Но тогда согласно (107) целое число 2N (то есть четное число) тождественно равно сумме целого числа A, задаваемого (105), и произведению целого числа B, задаваемого (106), на иррациональное число . И это тождество согласно (107) должно выполняться для любого натурального числа N! Возникает вопрос: при каких условиях это тождество верно в общем случае? Ответ очень простой: это возможно только в том случае, если член A является четным числом, равным 2N, а член B всегда тождественно равен 0, то есть:

Тождество (109), полученное в результате проведенных рассуждений, задает новое свойство натуральных чисел, называемое Z-свойством. Суть этого свойства мы сформулируем в виде следующей теоремы, доказанной в [39].

Теорема 1 (Z-свойство натуральных чисел). Если представить некоторое натуральное число N в виде (103), а затем в полученном выражении заменить каждую степень золотой пропорции t ⁱ соответствующим числом Фибоначчи F_i (i=0, ± 1, ± 2, ± 3, …}, то возникающая при этом сумма (106) тождественно равна нулю независимо от исходного числа N.

Заметим, что это свойство справедливо только для натуральных чисел, то есть наши достаточно элементарные рассуждения привели нас к открытию нового свойства натуральных чисел. И в основе этого открытия лежит система счисления (105), введенная юным американским математиком Бергманом в 1957 г.!

Не исключено, что некоторые «математические снобы» отнесутся достаточно скептически к этому «открытию» в силу предельной «элементарности» его доказательства. Но ведь доказательство «несоизмеримых отрезков» тоже кажется нам сейчас настолько элементарным, что оно доступно каждому школьнику. Тем не менее, мы до сих пор не перестаем удивляться прозорливости Пифагора, который сделал это доказательство впервые и с помощью этого «элементарного» открытия ввел в математику иррациональные числа. Как известно, открытие «несоизмеримых отрезков» и иррациональных чисел считается одним из крупнейших математических открытий античной математики!